Parę pytań dotyczących gwintów

[sYa_TPS]

1. Dlaczego gwint samohamowny nigdy nie osiągnie sprawności większej niż 50%?
2. Który z momentów ma większą wartość - luzujący czy napinający? W przypadku śrub złączonych.

[siwymech]

1. Sprawność gwintu;
(1) \(\displaystyle{ \eta= \frac{\tg \gamma}{\tg (\gamma+\rho' )}}\)
2.Warunek samohamowności
(2)\(\displaystyle{ \gamma \le \rho'}\)
.........................................
Wykorzystując (2), sprawność gwintu przyjmuje postać
(3') \(\displaystyle{ \eta= \frac{\tg \gamma}{\tg (\gamma+\rho' )}= \frac{\tg \gamma}{\tg 2\gamma}= \frac{\gamma}{2\gamma}= \frac{1}{2}}\)
4. Sprawność zaś w %
\(\displaystyle{ \eta=0,5 \cdot 100 \% =50 \%}\)
........................................................................
\(\displaystyle{ \gamma-}\) kat wzniosu gwintu,
\(\displaystyle{ \rho' -}\) pozorny kąt tarcia
...........................................................
Wyjaśnienie do (3);
W gwintach samohamownych przyjmuje się małe kąty wzniosu;
(2)\(\displaystyle{ \gamma = 1,5 ^{\circ} \div 5 \ ^{\circ}}\)
/Tangensy małych kątów są prawie równe samym kątom(miara łukowa)/

***************************
Moment \(\displaystyle{ M}\) napinający-luzujący połączenie gwintowe zależy głownie od siły obwodowej \(\displaystyle{ F}\).
(5)\(\displaystyle{ M=F \cdot k}\)
/Dokładny przepis w literaturze/
1. Związek między siłą obwodową \(\displaystyle{ F}\), a siłą osiową \(\displaystyle{ Q}\) przy napinaniu połączenia;
(1)\(\displaystyle{ F= Q \cdot \tg (\gamma+\rho' )}\)
2.Związek między siłą obwodową \(\displaystyle{ F}\), a siłą osiową \(\displaystyle{ Q}\) przy luzowaniu połączenia;
(2) (1)\(\displaystyle{ F= Q \cdot \tg (\gamma-\rho' )}\)
Wniosek oczywisty.,.
..........................................................

[sYa_TPS]

Dziękuję bardzo, mam jeszcze jedno pytanie.

Jak uporządkować gwinty M, S, Tr, calowy i prostokątny według rosnącej sprawności? Zakładamy, że wielkości geometryczne i fizyczne są takie same, oprócz zarysu oczywiście.

Największą sprawność ma gwint prostokątny, prawda? W wyborze mam sugerować się tylko kątem pochylenia gwintu?

[siwymech]

Sprawność gwintu określa wyrażenie (1)
(1) \(\displaystyle{ \eta= \frac{\tg \gamma}{\tg (\gamma+\rho ' )}}\)
................
Porównywanie sprawności zarysów gwintu ;
1.Przez podstawianie założonych parametrów do (1)
2.Obliczenie maksymalnej wartości współczynnika sprawności
/Obliczamy pochodną wrażenia (1), przyrównujemy ją do zera.
Z otrzymanego równania wyznaczamy kąt wzniosu \(\displaystyle{ \gamma}\), przy którym sprawność osiąga maks. dla danego współczynnika tarcia \(\displaystyle{ \mu}\);
(2)\(\displaystyle{ \gamma=45 ^{\circ}-0,5\rho '}\)
3.Tarcie wpływa na sprawność maszyn prostych jakimi są gwinty.
Stąd proponuję obliczenie sił tarcia na pow.płaskiej- gwint prostokątny i w rowku klinowym - gwinty ostre.
.............................
Twoja uwaga o gwincie z zarysem prostokątnym zasadna, tylko nie podlega on normalizacji-nie jest zalecany. Zastąpiony przez gwint o zarysie trapezowym(większa wytrzymałość, łatwiejsze wykonanie, ale tarcie większe).

[sYa_TPS]

Czy mógłbym prosić o rozwiązanie jednego przykładu np. dla gwintu trapezowego symetrycznego?

[siwymech]

Intuicyjnie -opory ruchu większe w rowku niż na pow. płaskiej.
Jakie wielkości o tym decydują?
............................................................
1.Siła tarcia w gwincie ostrym
(1) \(\displaystyle{ T=\mu \cdot N= \textcolor{red}{\frac{\mu}{\cos \frac{ \alpha}{2} }} \cdot \frac{Q}{2} \frac{}{}}\)
Gdzie przyjęto oznaczać -pozornym kątem tarcia iloraz;
(2) \(\displaystyle{ \rho'=\frac{\mu}{\cos \frac{ \alpha}{2} }}\)
..................................
Siły tarcia dla różnych zarysów;
1.Siła tarcia
-opór w gwincie metrycznym(M)- dla kąta zarysu;
\(\displaystyle{ \alpha =60 ^{\circ}}\)
(3) \(\displaystyle{ T=\rho ^{'} \cdot \frac{Q}{2} = \frac{\mu}{\cos \frac{ 60}{2} } \approx 1,15 \cdot \mu \cdot \frac{Q}{2}}\)
-opór w gwincie trapezowym (Tr)- dla kąta zarysu;
\(\displaystyle{ \alpha =30 ^{\circ}}\)
...
..
..
2.Siła tarcia w gwincie płaskim

\(\displaystyle{ \alpha =0 ^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ T=\rho ^{'} \cdot \frac{Q}{2} = \frac{\mu}{\cos \frac{ 0}{2} } \approx 1,00 \cdot \mu \cdot \frac{Q}{2}}\).
........................
Porównując siły tarcia, widać, że tarcie w gwincie metrycznym(ostrym) jest większe o około 15%.
****************************************************
Straty obliczane z pojęcia sprawności maksymalnej wtedy, gdy kąt wzniosu:
\(\displaystyle{ \gamma=45 ^{\circ}-0,5\rho '}\)

\(\displaystyle{ \eta= \frac{\tg (45 ^{\circ}-0,5\rho ')}{\tg (45 ^{\circ}+0,5\rho ')}}\)

/Przyjąć wartości i liczyć. Wynik podać w %/

[KratM]

2.Obliczenie maksymalnej wartości współczynnika sprawności
/Obliczamy pochodną wrażenia (1), przyrównujemy ją do zera.
Z otrzymanego równania wyznaczamy kąt wzniosu \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \gamma}\), przy którym sprawność osiąga maks. dla danego współczynnika tarcia \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \mu}\);
(2)\(\displaystyle{ \gamma=45 ^{\circ}-0,5\rho '}\)

W jaki sposób wyznaczany jest ten wzór na kąt wzniosu? Po obliczeniu pochodnej otrzymujemy \(\displaystyle{ \tg \gamma=-\tg\rho'+\sqrt{\tg^{2}\rho'+1}}\) Jak stąd przejść do formy \(\displaystyle{ \gamma=45 ^{\circ}-0,5\rho'}\)?

[siwymech]

1.Pochodna z ilorazu
\(\displaystyle{ ( \frac{u}{v})'= \frac{u' \cdot v-v' \cdot u}{v ^{2} }}\)
Wykorzystać
-pochodna funkcji \(\displaystyle{ \left( \tg (\gamma+\rho')\right)' = \frac{1}{\cos ^{2}(\gamma+\rho') }}\)
-związek tryg.
\(\displaystyle{ \ \tg x= \frac{\sin x}{\cos x}}\)

2. Przyrównać licznik pochodnej do zera ...
"Iść" w kierunku funkcji sinus- cosinus oraz zastosować do kolejnych przekształceń
\(\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x \cdot \cos x}\)

[KratM]

Dziękuję za odpowiedź. Wcześniej liczyłem stosując \(\displaystyle{ (\tg\gamma)'=1+\tg^{2}\gamma}\) i otrzymałem to równanie we wcześniejszym poście, którego wynik w sumie pokrywa się z wykresem \(\displaystyle{ \eta(\gamma)}\) w książce Osińskiego, jedynie przejścia nie potrafię znaleźć.
Przeliczyłem we wskazany przez Ciebie sposób:
Po wyznaczeniu pochodnej i uproszczeniu:

\(\displaystyle{ \frac{\sin(\gamma+\rho')\cdot\cos(\gamma+\rho')-\sin\gamma\cdot\cos\gamma}{\sin^{2}(\gamma+\rho')\cdot\cos^{2}(\gamma)}=0}\)

Po przyrównaniu licznika do 0, zastosowaniu tożsamości na sinus kąta podwojonego i uproszczeniu mianowników:

\(\displaystyle{ \sin(2\cdot(\gamma+\rho'))=\sin(2\gamma)}\)

Trzeba skorzystać z tożsamości na sumę/różnicę sinusów:

\(\displaystyle{ \sin(2\cdot(\gamma+\rho'))-\sin(2\gamma)=2sin(0,5\cdot(2(\gamma+\rho')-2\gamma))\cdot\cos(0,5\cdot(2(\gamma+rho')+2\gamma))=0}\)
\(\displaystyle{ 2\sin\rho'\cdot\cos(2\gamma+\rho')=0}\)
\(\displaystyle{ \sin\rho'=0 \vee \cos(2\gamma+\rho')=0}\)
stąd
\(\displaystyle{ \rho'=0 \vee 2\gamma+\rho'=0,5\pi}\)

[siwymech]

Proponuję rozw. równania(licznika! pochodnej)) z wykorzystaniem znanych wzorów

\(\displaystyle{ {\sin(\gamma+\rho')\cdot\cos(\gamma+\rho')=\sin\gamma\cdot\cos\gamma}}\)
...............................................................
Po pomnożeniu obu stron przez liczbę 2, otrzymamy
\(\displaystyle{ {2\sin(\gamma+\rho')\cdot\cos(\gamma+\rho')=2\sin\gamma\cdot\cos\gamma}}\)
Teraz zwijamy-mamy sinus podwojonego kąta
\(\displaystyle{ \sin2(\gamma+\rho)=\sin2\gamma}\)
Dalej wiemy z wzoru redukcyjnego, że
\(\displaystyle{ \sin2\gamma=\sin(180 ^{\circ} -2\gamma)}\)
\(\displaystyle{ \sin2(\gamma+\rho)=\sin(180-2\gamma)}\)
Teraz łatwo policzymy kąt wzniosu
\(\displaystyle{ 2\gamma+2\rho=180 ^{\circ} -2\gamma}\)
\(\displaystyle{ \gamma=45 ^{\circ} ^{\circh}-0,5 \rho}\)
------------------------------------------------------------