Funkcja wypukła i odwrotna

[dronguu]

Mam problem z zadaniami z funkcji wypukłej oraz z funkcją odwrotną.
1. Wykazać, że \(\displaystyle{ g(x)= \sqrt{2^{x-1} }}\) jest wypukła.
2. Znajdź funkcję odwrotną do \(\displaystyle{ y= \frac{1-x}{1+x}}\)
3. Znależć funkcję odwrotną \(\displaystyle{ y= \log _{3}x}\)
Mój znakomity profesor zaczął robić to zadanie tak:
\(\displaystyle{ \log _{3}( \alpha x+ \beta y) ^{ (\alpha x \beta y-2)} \le \log _{3}..}\)
Niestety nie miałam jeszcze przyjemności poznać pochodnej, wiec byłabym wdzieczna za pomoc.

[kerajs]

2. \(\displaystyle{ y= \frac{1-x}{1+x}}\)
\(\displaystyle{ (x+1)y=1-x \\ xy+x=1-y \\ x(y+1)=1-y \\ x= \frac{1-y}{1+y}}\)

3. \(\displaystyle{ y= \log _{3}x}\)
\(\displaystyle{ y \cdot 1= \log _{3}x \\ y \cdot \log _{3} 3 = \log _{3}x \\ \log _{3} 3 ^{y} = \log _{3}x \\3 ^{y}=x}\)
To samo uzyskasz z definicji logarytmu.

Niestety nie miałam jeszcze przyjemności poznać pochodnej, wiec byłabym wdzieczna za pomoc.

Bez znajomości pochodnych trudno jest wykazać wypukłość krzywej. Sposób który przychodzi mi do głowy to narysować zadaną krzywą , a następnie pokazać że dowolna styczna do tej krzywej jest zawsze nad (pod) tą krzywą.
Tu masz \(\displaystyle{ y=2 ^{ \frac{x-1}{2} } \Rightarrow y= \frac{ \sqrt{2} }{2}( \sqrt{2} ) ^{x}}\) co jest krzywą wykładniczą która w swojej dziedzinie jest wklęsła (wypukła).
Analitycznie masz:
funkcja g jest wypukła (wklęsła ) gdy g'<0;
funkcja g jest wklęsła (wypukła ) gdy g'>0;
Ta niejednoznacznośc wynika z tego że wypukłość jest różnie definiowana. Zobacz co wasz nauczyciel uważa za wypukłe. Patrząc na zadanie 1 sadzę że dla niego właściwe są określenia z nawiasów.

[yorgin]

Wypukłość można badać z nierówności Jensena, równoważnej wypukłości funkcji.

\(\displaystyle{ \forall\ x,y\in X\ \ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}}\)

U nas do sprawdzenia jest

\(\displaystyle{ \forall\ x,y\in X\ \sqrt{2^{\frac{x+y}{2}-1}}\leq \frac{\sqrt{2^{x-1}}+\sqrt{2^{y-1}}}{2}}\)

ale powyższe to, jak dobrze podstawiłem, nierówność AM-GM.

[Ponewor]

yorgin, jesteś pewien? Nie jestem ekspertem w dziedzinie, ale nie jest konieczne zachodzenie nierówności dla wszystkich par wag \(\displaystyle{ \left( p, \ q\right)}\) sumujących się do jedności, a nie tylko dla \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}, \ \frac{1}{2}\right)}\)?

Zanim wysłałem, uznałem, że pogooglam - dla funkcji ciągłych okazuje się to równoważne - ile to można się przy okazji nauczyć.

Zostawiam, bo może nie ja jeden będę miał takie wątpliwości, to znajdzie tu odpowiedź.