Kresy funkcji wielu zmiennych

[Kaleo]

Niech A będzie macierzą symetryczną \(\displaystyle{ A \in M^{n \times n}}\). Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{T}Ax }{||x||^{2} }}\) określona na \(\displaystyle{ R^{n}}\) {0} przyjmuje swoje kresy i znajdź je.

Mam wskazówkę, że f będzie przyjmować kresy na \(\displaystyle{ S^{n-1}}\), ale nadal nie bardzo wiem jak je wyznaczyć.

[bartek118]

Zauważ, że po wstawieniu \(\displaystyle{ kx}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy to samo wyrażenie, tj. \(\displaystyle{ f(kx)=f(x)}\) Zatem bez straty ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ \|x\| = 1}\). Rozpatrujesz zatem odwzorowanie dane wzorem:
\(\displaystyle{ f(x) = x^T A x}\)
dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{S}^{n-1}}\). To, że funkcja przyjmuje swoje kresy jest oczywiste i wynika ze zwartości zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{S}^{n-1}}\) i ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\). Aby je wyznaczyć - policz pochodną \(\displaystyle{ Df(x)}\) i znajdź jej zera.

[Kaleo]

Wyszło mi, że pochodne cząstkowe są równe 0 tylko dla \(\displaystyle{ \vec{x}= \vec{0}}\), który nie należy do dziedziny. Popełniłam gdzieś błąd czy powinnam z tego wyciągnąć jakiś wniosek?

[bartek118]

No OK. W sumie to przepraszam, bo trochę błędnie naprowadziłem na wskazówkę. Zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{S}^{n-1}}\) bynajmniej nie jest otwarty (ma nawet puste wnętrze), więc badanie klasycznej pochodnej nic nie da. Należy zbadać ekstrema związane funkcji \(\displaystyle{ f}\) na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{S}^{n-1}}\).

[Kaleo]

A mógłbyś mi wytłumaczyć dlaczego akurat na \(\displaystyle{ S ^{n-1}}\)?

[bartek118]

Ponieważ funkcja ta jest stała na półprostych o początku w zerze. Dlatego wystarczy ograniczyć się tylko do sfery. Jeżeli jakaś wartość jest osiągana w punkcie \(\displaystyle{ x}\), to dokładnie taka sama wartość jest osiągana w punkcie \(\displaystyle{ \frac{x}{\|x\|}}\)

[Kaleo]

Dziękuję za pomoc