W daną półkulę o promieniu r wpisano stożek, którego wierzchołek leży w środku kuli, a podstawa jest równoległa do podstawy półkuli. Zbadać przebieg zmienności objętości V tego stożka.
\(\displaystyle{ \noindent\rule[0.5cm]{\textwidth}{0.5pt}}\)
W przekroju osiowym stożka mamy:
- AU
- tlsf70v.png (32.07 KiB) Przejrzano 125 razy
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} Rh = \frac{1}{2} r^2 \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ Rh = r^2 \sin \alpha}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ \tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{R}{h}}\), czyli:
\(\displaystyle{ Rh = h^2 \tg \frac{ \alpha }{2}}\)
\(\displaystyle{ h^2 \tg \frac{ \alpha }{2} = r^2 \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ h^2 = r^2 \sin \alpha \ctg \frac{ \alpha }{2} = 2r^2 \cos^2 \frac{ \alpha }{2}}\)
\(\displaystyle{ h = \sqrt{2} \ r \cos \frac{ \alpha }{2}}\)
Następnie wyznaczamy promień podstawy stożka:
\(\displaystyle{ r = h \tg \frac{ \alpha }{2} = \sqrt{2} \ r \cos \frac{ \alpha }{2} \tg \frac{ \alpha }{2} = \sqrt{2} \ r \sin \frac{ \alpha }{2}}\)
\(\displaystyle{ V( \alpha ) = \frac{1}{3} \pi 2 \ r^2 \sin^2 \frac{ \alpha }{2} \sqrt{2} \ r \cos \frac{ \alpha }{2} = \frac{2 \sqrt{2} \pi }{3} \ r^3 \sin^2 \frac{ \alpha }{2} \cos \frac{ \alpha }{2}; \quad \quad \alpha \varepsilon (0, \pi )}\)
\(\displaystyle{ V'( \alpha ) = \frac{ \pi r^3 \sin \frac{ \alpha }{2} (1 + 3 \cos \alpha )}{3 \sqrt{2} } \quad \quad \alpha \varepsilon (0, \pi )}\)
\(\displaystyle{ V'( \alpha ) = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \arccos\left( - \frac{1}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ V_{MAX} = V\left( \arccos\left( - \frac{1}{3} \right)\right) = \frac{4 \sqrt{6} \ \pi }{27} r^3}\)
W odpowiedzi natomiast jest \(\displaystyle{ V_{MAX} = \frac{2}{27} \pi r^3 \sqrt{3}}\)
