Granice ciągów - zadania

[Magda6686]

Mam kilka ,trochę ciekawszych(przynajmniej dla mnie) granic do obliczenia. Robiłam naprawdę masę przykładów i pojawiło się kilka których nie potrafię wykonać:

1. Obliczyć granice w nieskończoności.

a)\(\displaystyle{ \frac{\log _{n} \left( n^{4} + 1 \right) }{\log _{n} \left( n^{2} + 1 \right) }}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n+1} }{1 + \frac{1}{2} + + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} }}\)

c) \(\displaystyle{ \sin \left( \pi \sqrt{n^{2} + 1} \right)}\)

d) \(\displaystyle{ \frac{arc \tg \left( 3n+1 \right) }{arc \tg (2n+1)}}\)

2. Jak udowodnić?:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2^{n}} \ge \frac{n}{2}}\)

3.Py an ie mniejszej wagi, jak sobie formarcln ie radzić z obliczaniem granic takich ciągów:

a) \(\displaystyle{ \frac{arc \tg (n)}{arc \ctg (n)}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{arc \tg \left( 2^{n} \right) }{2^{n}}}\)

Wiem jak wyglądają wykresy funkcji cyklometrycznych, i mniej więcej mogę przypuszczać że granica pierwszego to nieskończoność, drugiego 0. Ale jak to rozwiązywać porządnie?

Proszę o jakąś pomoc w tych zdaniach.

[miodzio1988]

zad 2 np indukcyjnie mozesz

zad 3

a) od razu przechodzisz do granicy, z wykresow sie dowiesz do czego dazy licznik i mianownik'

b) twierdzenie o 3 ciagach

[LipaMat]

W zadaniu drugim nie powinno być nierówności na odwrót? Bo jakoś mi się nie klei

[Premislav]

W zadaniu drugim zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{n}+1 }+...+ \frac{1}{2 ^{n+1} }} \ge \frac{1}{2}}\) (bo składników jest \(\displaystyle{ 2 ^{n+1}-2 ^{n}=2 ^{n}}\) i żaden nie jest mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{n+1} }}}\)). To załatwia drugi krok indukcyjny.

[yorgin]

1)

a) Pokaż, że

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to+\infty} \log_n (n^k+1)=k}\) dla \(\displaystyle{ k\geq 2}\).

b) Wygląda to tak, jakby wystarczyło podzielić licznik i mianownik przez siebie, tj jeżeli \(\displaystyle{ H_n}\) to standardowe oznaczenie na \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę harmoniczną, to mamy granicę

\(\displaystyle{ 1+\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{(n+1)H_{n}}=1}\)

c) Ponieważ

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n^2+1}}{n}=1}\)

to dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy

\(\displaystyle{ \pi n-\varepsilon\leq \pi\sqrt{n^2+1}\leq \pi n+\varepsilon}\)

Obkładamy nierówności sinusem (uwaga na parzystość \(\displaystyle{ n}\), wpływa na monotoniczność) i dostajemy

\(\displaystyle{ |\sin\pi\sqrt{n^2+1}|\leq \sin\varepsilon\leq \varepsilon}\).

Szczegóły do samodzielnego uzupełnienia.

d) Wyrażenie jest od dołu ograniczone przez \(\displaystyle{ 1}\). Wystarczy więc pokazać, że dla ustalonego \(\displaystyle{ \varepsilon}\) i dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \arctan (3n+1)-\arctan(2n+1)\leq\varepsilon}\)

tj

\(\displaystyle{ \arctan\frac{n}{1+(2n+1)(3n+1)}\leq \varepsilon}\),

czyli po prostu

\(\displaystyle{ \frac{n}{1+(2n+1)(3n+1)}\leq \tan\varepsilon}\)

a to ostatnie jest oczywiste.


Sporo skrótów myślowych - wszystkie do rozszyfrowania i samodzielnego uzupełnienia.

P.S. Niech ktoś sprawdzi b), bo wydaje mi się być za proste...

[Premislav]

1(b) idzie też szybko z twierdzenia Stolza, jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ a _{n}= \sum_{i=1}^{n}H _{i}, b _{n}=a _{n+1}}\).

[Magda6686]

Pozwólcie że dopytam jeszcze o jedną rzecz:
Podobno jest takie twierdzenie :
\(\displaystyle{ a_{n}^{b_{n}}=a^{b}}\)
jednak jest ono spełnione przy jakiś założeniach.
Jakich?
Gdzie znajdę dowód?

Myślę że korzystanie z tego tw. by mi ułatwiło parę rzeczy

[a4karo]

Nierówność w zadaniu 2 jest akurat odwrotna i prosto wynika ze wzory na sumę szeregu geometrycznego (lewa strona jest mniejsza niż 1).

Podobno jest takie twierdzenie :
\(\displaystyle{ a_{n}^{b_{n}}=a^{b}}\)
jednak jest ono spełnione przy jakiś założeniach.

Zgaduję, że chodzi Ci o takie coś: jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_n=a}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} b_n=b}}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_n^{b_n}=a^b}\), które jest prawdziwe dla wszystkich ciągów o wyrazach dodatnich i takich, że \(\displaystyle{ 0<a,b<\infty}\).

[Premislav]

a4karo, a propos zadania drugiego chyba zmylił Pana nieścisły zapis, bo przecież tam jest \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) na drugim miejscu, a zatem wydaje się, że chodzi o sumę początkowych \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) wyrazów ciągu harmonicznego mniejszych od jedynki. No to gołym okiem widać, że ta suma jest większa od \(\displaystyle{ 1}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\).

[a4karo]

Faktycznie, nie zauważyłęm \(\displaystyle{ 1/3}\) i już odszczekuję: hau, hau, hau

[Magda6686]

A4karo , mogę prosić o link do dowodu tego tw. I nie było tam w założeniach coś o wymierności?

[musialmi]

To jest twierdzenie o arytmetyce granic, nie miałaś tego na wykładzie? Nie ma w założeniach wymierności, wystarczą granice właściwe.

[pyzol]

No nie do końca jest w komplecie tej arytmetyki. W tym przypadku w dowodzie wykorzystuje się ciągłość funkcji \(\displaystyle{ x^y}\). Także niektórzy prowadzący nie życzą sobie korzystania z tego twierdzenia, gdyż uznają, że jeszcze takie pojęcia jak ciągłość nie znamy.

[a4karo]

Zarys szkicu dowodu może być taki:
Trzeba troszkę poszacować \(\displaystyle{ |a_n^{b_n}-a^b|}\). Np. tak
\(\displaystyle{ |a_n^{b_n}-a^b|\leq |a_n^{b_n}-a_n^b|+|a_n^b-a^b|=|a_n^b(a_n^{b_n-b}-1)|+|a_n^b-a^b|}\)

resztę zostawiam inwencji autorki postu

[Magda6686]

To jak zrobić to (ale żeby nie używać tego twierdzenia o które pytałam , bo go nie miałam na wykladzie)

\(\displaystyle{ \left( \frac{n^{3}+1}{n^{3}} \right) ^{n^{5}}}\)

Myslalam o tw. o dwoch ciagach , tylko jak z dołu ograniczyć ?