Naprężenia montażowe gdzie jest błąd?

[ropol]

Otóż mam takie zadanie: Obliczyć średnicę prętów. Dane: delta(na rysunku d)=0,1 mm ;E=2⋅10^5 MPa ;k_r=120 MPa ;a=1000 mm ;P=20kN.



1. Zacząłem standardowo od napisania równania momentów względem punktu C
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} =3P-S_2+2S_1=0}\)

2. Teraz zależności odkształceń l1 i l2
\(\displaystyle{ \frac{\Delta l_1}{2a}= \frac{k}{a}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\Delta l_1}{2}=k}\)

z rysunku również wynika że \(\displaystyle{ k+\Delta l_2=\delta}\) to podstawiając tutaj wartość k mam

\(\displaystyle{ \frac{\Delta l_1}{2}+\Delta l_2=\delta}\)

3. teraz z prawa Hooke'a

\(\displaystyle{ \Delta l_1= \frac{S_1a}{EA}}\)

\(\displaystyle{ \Delta l_2= \frac{S_2a}{EA}}\)

4. No to podstawmy odkształcenia i prawo Hooke'a

\(\displaystyle{ \frac{S_1a}{2EA}+\frac{S_2a}{EA}=\delta}\)

5. teraz z powyższego równania wyliczam sobie np. siłę S1

\(\displaystyle{ S_1=\frac{2\delta AE}{5a}-\frac{6P}{5}}\)

6. Powyższe równanie wstawiam do równania momentów i wyliczam siłę S2

\(\displaystyle{ S_2=\frac{4\delta AE}{5a}+\frac{3P}{5}}\)

7. czas na warunki wytrzymałościowe

\(\displaystyle{ \sigma_r= \frac{S_1}{A}=\frac{\frac{2\delta AE}{5a}-\frac{6P}{5}}{A}= \frac{2\delta E}{5a}- \frac{6P}{5A}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2\,\delta\,E}{5\,a}-\frac{6\,P}{5\,A} \le k_r}\)

\(\displaystyle{ \frac{2\,\delta\,E}{5\,a} \le k_r+\frac{6\,P}{5\,A}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2\,\delta\,E}{5\,a}-k_r \le\frac{6\,P}{5\,A}}\)

\(\displaystyle{ A(\frac{2\,\delta\,E}{a}-5k_r) \le6P}\)

i na tym etapie jest już coś nie tak ponieważ otrzymujemy że A jest mniejsze równe jakiejś wartości

ale sprawdziłem jeszcze czy tak samo będzie dla drugiego pręta (okazało się że nie):

\(\displaystyle{ \sigma_r= \frac{S_2}{A}= \frac{ \frac{3P}{5}+ \frac{4\delta AE}{5a} }{A}=\[\frac{3\,P}{5\,A}+\frac{4\,\delta\,E}{5\,a}\]}\)

\(\displaystyle{ \[\frac{3\,P}{5\,A}+\frac{4\,\delta\,E}{5\,a}\] \le k_r}\)

\(\displaystyle{ \[\frac{3\,P}{5\,A}\le k_r-\frac{4\,\delta\,E}{5\,a}\]}\)

\(\displaystyle{ 3P \le A(5k_r-\frac{4\,\delta\,E}{a})}\)

\(\displaystyle{ 5k_r-\frac{4\,\delta\,E}{a}=5\cdot 120- \frac{4\cdot 0,1\cdot 2\cdot 10^5}{1000}=520 N}\)

dziele przez liczbę dodatnią więc nie zmieni mi się zwrot nierówności

\(\displaystyle{ \frac{3\cdot 20000}{520} \le A}\)

\(\displaystyle{ 115,38 \le \frac{\pi d^2}{4}}\)

\(\displaystyle{ 461,53 \le \pi d^2}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{461,53}{\pi}} \le d}\)

\(\displaystyle{ 12,12 mm \le d}\)

8. Niestety to nie koniec dziwnych obliczeń jakie otrzymuje bo jeszcze logicznym jest założenie że wartości sił w prętach będą większe lub równe zero także napiszę te warunki poniżej i zobaczcie co otrzymuje:

\(\displaystyle{ S_1 \ge 0 \wedge S_2 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ S_1=\frac{2\delta AE}{5a}-\frac{6P}{5} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{2\delta AE}{5a} \ge \frac{6P}{5}}\)

\(\displaystyle{ A \ge \frac{6Pa}{2\delta E}=3000}\)

\(\displaystyle{ \frac{\pi d^2}{4} \ge 3000}\)

\(\displaystyle{ d \ge 61,80 mm}\)

dla siły S1 wyszło fajnie, to sobie pomyślałem oblicze jeszcze dla S2 i co...

\(\displaystyle{ S_2=\frac{4\delta AE}{5a}+\frac{3P}{5} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{4\delta AE}{5a} \ge -\frac{3P}{5}}\)

\(\displaystyle{ A \ge -\frac{3P}{4\delta E}}\)

w zasadzie w tym momencie doszedłem do czegoś co jest i sprzeczne bo wartość pola nie może być większa RÓWNA liczbie ujemnej

także Panowie i Panie o co chodzi

[lackiluck1]

A nie jest przypadkiem tak, że pręty nie obciążone mają długości: ten po lewej \(\displaystyle{ a}\) a ten po prawej \(\displaystyle{ a - \delta}\), czyli:
- lewy jest ściskany i prawo Hooka wygląda tak:
\(\displaystyle{ \Delta l_1= \frac{S_1a}{EA}}\)
- prawy jest rozciągany i prawo Hooka wygląda następująco:
\(\displaystyle{ \Delta l_2= \frac{S_2 \cdot (a-\delta)}{EA}}\)

[kruszewski]

Nie można założyć, że:
"\(\displaystyle{ S_1 \ge 0 \wedge S_2 \ge 0}\)";
można tylko być pewnym, że \(\displaystyle{ S_2>0}\), bo ten pręt na pewno będzie rozciągany.
O pręcie \(\displaystyle{ S_1}\) tego nie można być pewnym.
W.Kr.

[ropol]

- prawy jest rozciągany i prawo Hooka wygląda następująco:
\(\displaystyle{ \Delta l_2= \frac{S_2 \cdot (a-\delta)}{EA}}\)

długość pręta przyjmuje się, że jest równa a ponieważ \(\displaystyle{ a>>\delta}\)

Nie można założyć, że:
"\(\displaystyle{ S_1 \ge 0 \wedge S_2 \ge 0}\)";
można tylko być pewnym, że \(\displaystyle{ S_2>0}\), bo ten pręt na pewno będzie rozciągany.
O pręcie \(\displaystyle{ S_1}\) tego nie można być pewnym.
W.Kr.

no rzeczywiście ma Pan rację ale to i tak nie rozwiązuje problemu bo przy założeniu że \(\displaystyle{ S_2>0}\) otrzymam że \(\displaystyle{ A>- \frac{3P}{4\delta E}}\) także czy tak czy siak nie rozwiązuje to problemu jak obliczyć średnicę tych prętów

[kruszewski]

Zatem \(\displaystyle{ S_1 <0}\) czyli pręt jest obciążony siłą normalna o zwrocie "do przekroju" , stąd jej znak jest "minus".