Pokazać obustronną inkluzję

[mariusz2409]

Dla rodziny zbiorów \(\displaystyle{ A}\) mamy pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcap A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty} \left( 1-\frac{1}{n}, 3-\frac{1}{n} \right) = \left[ 1,2 \right)}\)

wiem, że trzeba pokazać obustronną inkluzję,
1) Jeśli \(\displaystyle{ \left[ 1,2 \right) \subseteq \bigcap A_n}\) to jest podobno oczywiste bo dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ x_n \in A_n}\)

2) Jeśli \(\displaystyle{ \bigcap A_n \subseteq \left[ 1,2 \right)}\) to wtedy zakładamy, że \(\displaystyle{ x\not\in \left[ 1,2 \right)}\) czyli \(\displaystyle{ x<1 \cup x \ge 2}\) czyli mamy dla \(\displaystyle{ x \ge 2}\), że \(\displaystyle{ x=2 +\varepsilon}\) gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) i teraz bierzemy takie \(\displaystyle{ n}\) , że \(\displaystyle{ n>\frac{1}{\varepsilon}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{n}<\varepsilon}\) stad mamy, że \(\displaystyle{ 2+\frac{1}{n}<2+\varepsilon=x}\) i to jest podobno sprzeczność czy ktoś może wytłumaczyć dlaczego ? ( jeśli w ogóle to jest dobrze)

Podobnie dla \(\displaystyle{ x<1}\) mamy \(\displaystyle{ x=1-\varepsilon}\) bierzemy takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}>\varepsilon}\) i stąd mamy, że \(\displaystyle{ x<1-\frac{1}{n}}\) podobnie nie wiem dlaczego jest to sprzeczność

[Jan Kraszewski]

1) Jeśli \(\displaystyle{ \left[ 1,2 \right) \subseteq \bigcap A_n}\) to jest podobno oczywiste bo dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ x_n \in A_n}\)

Raczej dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ [1,2) \subseteq A_n}\), to co napisałeś niespecjalnie ma sens. Skoro już przeprowadzasz dowód, to stwierdzanie "jest oczywiste" jest trochę nie na miejscu. Skoro jest oczywiste, to pokaż krótkie uzasadnienie.

2) Jeśli \(\displaystyle{ \bigcap A_n \subseteq \left[ 1,2 \right)}\) to wtedy zakładamy, że \(\displaystyle{ x\not\in \left[ 1,2 \right)}\) czyli \(\displaystyle{ x<1 \cup x \ge 2}\)

Niechlujnie. Co to jest \(\displaystyle{ x}\) i skąd się wziął? Poza tym "Jeśli \(\displaystyle{ \bigcap A_n \subseteq \left[ 1,2 \right)}\)", to nie masz już czego dowodzić... - słowo "jeśli" jest zupełnie nie na miejscu. No i mylisz \(\displaystyle{ \cup}\) z \(\displaystyle{ \lor}\).

czyli mamy dla \(\displaystyle{ x \ge 2}\), że \(\displaystyle{ x=2 +\varepsilon}\) gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\)

Nieprawda, dla \(\displaystyle{ x=2}\) nie działa.

i teraz bierzemy takie \(\displaystyle{ n}\) , że \(\displaystyle{ n>\frac{1}{\varepsilon}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{n}<\varepsilon}\) stad mamy, że \(\displaystyle{ 2+\frac{1}{n}<2+\varepsilon=x}\) i to jest podobno sprzeczność czy ktoś może wytłumaczyć dlaczego ? ( jeśli w ogóle to jest dobrze)

To jest sprzeczność, ale przede wszystkim to jest zupełnie niepotrzebne. Wystarczy zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ x\ge 2}\), to \(\displaystyle{ x\notin A_1}\).

Podobnie dla \(\displaystyle{ x<1}\) mamy \(\displaystyle{ x=1-\varepsilon}\) bierzemy takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}>\varepsilon}\) i stąd mamy, że \(\displaystyle{ x<1-\frac{1}{n}}\) podobnie nie wiem dlaczego jest to sprzeczność

Bo \(\displaystyle{ x\notin A_n}\).

Ogólnie dowód napisany niestarannie.

JK

[mariusz2409]

w uzasadnieniu 1) wystarczy napisać, że dla każdego n mamy \(\displaystyle{ x \in A_n}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in [1,2)}\) ??

[Jan Kraszewski]

Ale gdzie tu uzasadnienie? To nie jest uzasadnienie, tylko stwierdzenie pożądanego faktu.

JK

[mariusz2409]

Mógłby Pan mi pomóc? bo nie wiem jak powinno się to uzasadnić

[Jan Kraszewski]

Musisz napisać krótkie uzasadnienie, dlaczego dla dowolnego \(\displaystyle{ n\ge 1}\) masz \(\displaystyle{ [1,2) \subseteq \left( 1-\frac{1}{n}, 3-\frac{1}{n} \right)}\).

JK

[mariusz2409]

wystarczy napisać, że skoro prawdziwe są nierówności \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{n}<1}\) oraz \(\displaystyle{ 3-\frac{1}{n}\ge 2}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\ge 1}\) stąd prawdziwa jest nasza inkluzja ?

[Jan Kraszewski]

Można by jeszcze dodać, że jest tak, gdyż \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{n}\le 1}\).

JK

[mariusz2409]

Dziękuję bardzo za pomoc chciałbym jeszcze się dowiedzieć jakie błędy robię w wyznaczaniu sumy tego samego zbioru. Chce pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcup A_n = (0,3)}\)

(nie wiem czy w wykazywaniu inkluzji pisać \(\displaystyle{ A_n \subseteq ..}\) czy \(\displaystyle{ \bigcup A_n \subseteq ...}\))

\(\displaystyle{ A_n \subseteq (0,3)}\) bo jesli \(\displaystyle{ x \not\in (0,3)}\) to mamy\(\displaystyle{ x \le 0 \vee x\ge 3}\) ale wtedy \(\displaystyle{ x \not\in A_n}\) gdyż \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{n} \ge 0}\) (ale nasz zbiór nie przyjmuje wartości na krańcach więc \(\displaystyle{ 0\not\in A_n}\)) oraz \(\displaystyle{ 3-\frac{1}{n}<3}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) bo \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{n} \le 1}\)

\(\displaystyle{ (0,3) \subseteq A_n}\) mamy \(\displaystyle{ x=3- \varepsilon}\) dla \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) weźmy takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}<\varepsilon}\) wtedy mamy \(\displaystyle{ 3-\frac{1}{n}>x}\) teraz weźmy takie \(\displaystyle{ x=\varepsilon}\) i \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ \frac{1}{n} < \varepsilon}\) czy to oznacza, że \(\displaystyle{ (0,3) \subseteq A_n}\) ??

[Jan Kraszewski]

Dziękuję bardzo za pomoc chciałbym jeszcze się dowiedzieć jakie błędy robię w wyznaczaniu sumy tego samego zbioru. Chce pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcup A_n = (0,3)}\)

Nie zapominaj o indeksowaniu sumy, bo bez indeksów ten napis ma zupełnie inne znaczenie.

(nie wiem czy w wykazywaniu inkluzji pisać \(\displaystyle{ A_n \subseteq ..}\) czy \(\displaystyle{ \bigcup A_n \subseteq ...}\))

Jeżeli chcesz pokazać, że suma zawiera się w czymś lub zawiera coś, to musisz używać sumę.

\(\displaystyle{ A_n \subseteq (0,3)}\) bo jesli \(\displaystyle{ x \not\in (0,3)}\) to mamy\(\displaystyle{ x \le 0 \vee x\ge 3}\) ale wtedy \(\displaystyle{ x \not\in A_n}\) gdyż \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{n} \ge 0}\) (ale nasz zbiór nie przyjmuje wartości na krańcach więc \(\displaystyle{ 0\not\in A_n}\)) oraz \(\displaystyle{ 3-\frac{1}{n}<3}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) bo \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{n} \le 1}\)

Koślawie sformułowane, ale myśl słuszna.

\(\displaystyle{ (0,3) \subseteq A_n}\) mamy \(\displaystyle{ x=3- \varepsilon}\) dla \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) weźmy takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}<\varepsilon}\) wtedy mamy \(\displaystyle{ 3-\frac{1}{n}>x}\) teraz weźmy takie \(\displaystyle{ x=\varepsilon}\) i \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ \frac{1}{n} < \varepsilon}\) czy to oznacza, że \(\displaystyle{ (0,3) \subseteq A_n}\) ??

No tu już poziom koślawości bardzo rośnie.

Ogólnie widzisz, dlaczego jest tak, a nie inaczej, ale z zapisem formalnym masz spore kłopoty.

JK

[mariusz2409]

czy wie Pan gdzie mógłbym zobaczyć jak powinno się przeprowadzać takie dowody dobrze zapisane formalnie ?

[Jan Kraszewski]

Pooglądaj niektóre moje stare posty.

Nie sądzę, byś znalazł osobny podręcznik poprawnego formalnie zapisywania dowodów. Zazwyczaj jest to pochodną wiedzy - jak już dobrze rozumiesz dane zagadnienie, to wiesz, jak je porządnie zapisać.

JK