x należy do zbioru pustego ?

[roman_g]

Rozważmy np. takie równanie:
2x + 3 = 2x + 4
Rozwiązanie:
2x + 3 = 2x + 4
2x - 2x = 4 - 3
0 = 1 (otrzymaliśmy sprzeczność)
Jak w takim wypadku powinna wyglądać prawidłowa odpowiedź?

Często spotykam się z zapisem (w zeszytach znajomych z liceum): "x należy do zbioru pustego". Jednak nie wiem, czy do końca jest to "prawidłowa" odpowiedź. W końcu zbiór pusty to taki zbiór, który nie ma żadnych elementów, a piszą, że x do niego należy...

Proszę o opinie na ten temat...

Dzięki, pozdrawiam;)

[hellsing]

Zapis "x należy do zbioru pustego" jest ruwnoważny "Rozwiązaniem danego równania jest liczba "x" która nie istnieje".Tak najprościej można to wytłumaczyć.

[Lady Tilly]

Inaczej mówiąc, nie istnieje żadna liczba x, która spełniałaby podane przez Ciebie równanie. Zbiór pusty to zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Zbiór pusty też jest zbiorem. Tu podaję Ci cekawy artykuł na ten temat: ... /rozw1.htm na pewno przyda Ci się. Miłej lektury.

[rezystor]

Witam i przepraszam że wracam do starego tematu ale też myślałem nad tym problemem i dalej go nie rozumiem.
Bo jeżeli x należy do zbioru pustego to automatycznie zbiór pusty przestaje być zbiorem pustym bo ma element.
Niezgodze się z tym że liczba x nie istnieje bo istnieje ale w liczbach zepolonych dlatego wydaje mi się że taki zapis x należy do zbioru pustego nie jest poprawny a taki zapis że x nie należy do Df a Df zawiera się w R jest poprawny.
Poprawcie jeżeli się mylę.

[luka52]

rezystor, nie istnieje takie \(\displaystyle{ x}\), które spełnia to równanie nawet w liczbach zespolonych. To równanie nie ma rozwiązań.
Zgodzę się jednak, że zapis \(\displaystyle{ x \in \emptyset}\) jest nielogiczny.

[rezystor]

I o to mi chodziło że jest skrót myślowy który jest nielogiczny.

[Mitsuhide]

\(\displaystyle{ x \in \emptyset}\) jest zdaniem fałszywym dla każdego x.
Zaiste, dziwna jest popularność tego absurdalnego zapisu.
Należałoby raczej napisać, że zbiór rozwiązań jest pusty, np.:
\(\displaystyle{ \left\{ x: x+1 = x+2\right\} = \emptyset}\)

[ak-47]

Odświeżę dyskusję, bo sam kiedyś miałem takie rozterki. Nie mam już takich dylematów, bo pod względem logicznym wszystkie sprzeczności są równoważne. Spójnik "wtedy i tylko wtedy" logicznie jest prawdą, gdy oba zdania są fałszywe albo oba zdania są prawdziwe. Więc jest jak najbardziej sensowne napisać:

\(\displaystyle{ x+1=x+2 \quad\Leftrightarrow\quad x\in\emptyset}\)

Jako zbiór rozwiązań równania przyjmujemy \(\displaystyle{ \emptyset}\). Jest on pusty i samo równanie jest wtedy sprzeczne. Chyba że ktoś się zastanawia czy na mocy tego zapisu zbiór pusty jest rzeczywiście pusty, ale niestety jest to pojęcie pierwotne

[Hydra147]

Zbiór pusty nie jest pojęciem pierwotnym aczkolwiek jego istnienie jest gwarantowane na mocy aksjomatu zbioru pustego (w aksjomatyce ZFC).

[user-22-07-2025]

Również pojawił się dziś u mnie ten problem. Jak to poprawnie zapisać. Po pewnych przemyśleniach doszedłem do pewnych wniosków.
Spróbuję wytłumaczyć to na chłopski rozum.

Rozważmy najpierw zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 1,2\right\}}\). Jakie elementy do niego należą? Oczywiście \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\). Pojęcie należenia jest pojęciem pierwotnym ale "na chłopski rozum": element "\(\displaystyle{ 1}\)" \(\displaystyle{ \in \left\{ 1,2\right\}}\) ponieważ mając wypisane wszystkie elementy tego zbioru, widzimy, że \(\displaystyle{ 1}\) tam jest. Gdy weźmiemy element "\(\displaystyle{ 3}\)" to nie należy on do \(\displaystyle{ \left\{ 1,2\right\}}\) bo patrząc na wszystkie elementy zbioru, nie widzimy tam "\(\displaystyle{ 3}\)".

Jeśli zapiszemy, że \(\displaystyle{ x \in \left\{ \emptyset \right\}}\) to widzimy, że jedynym elementem \(\displaystyle{ \left\{ \emptyset \right\}}\) jest \(\displaystyle{ \emptyset}\). Czyli \(\displaystyle{ x}\) musi być zbiorem pustym.

Zapis \(\displaystyle{ x \in \emptyset}\) jest dla mnie nielogiczny, tak jak ktoś wcześniej pisał. Skoro \(\displaystyle{ x}\) tam należy, to przestaje to być zbiór pusty.

Dlatego proponuję zapis \(\displaystyle{ x \in \left\{ \emptyset \right\}}\) lub \(\displaystyle{ x=\emptyset}\).

[musialmi]

Ale przecież dziedziną równań, o których mówimy, są liczby, więc nie możemy pisać, że \(\displaystyle{ x}\) jest zbiorem albo krową.
Posty ak-47 xor Mitsuhide wydają mi się trafne.

[VillagerMTV]

Moim zdaniem ten zapis to tak jak oznaczenie liczb wymiernych przez \(\displaystyle{ \mathbb{W}}\) , a nie \(\displaystyle{ \QQ}\).

Można? Można.

Dobre to jest? Nie sądzę.

[jutrvy]

Ale przecież dziedziną równań, o których mówimy, są liczby, więc nie możemy pisać, że \(\displaystyle{ x}\) jest zbiorem albo krową.
Posty ak-47 xor Mitsuhide wydają mi się trafne.

Liczba, to zbiór...

[musialmi]

A co jest w tym zbiorze?

[jutrvy]

Generalnie używanie zbioru pustego w liceum w tym kontekście jest beznadziejnie kretyńskim pomysłem. Oczywiście zapis \(\displaystyle{ x\in\emptyset}\) jest formalnie poprawnie zapisanym zdaniem logicznym. Fałszywym dla każdego \(\displaystyle{ x}\).

Można by równie dobrze pisać zamiast \(\displaystyle{ 2 = 1 \Leftrightarrow x\in\emptyset}\) \(\displaystyle{ 2=1 \Leftrightarrow \hbox{krowa jest dinozaurem lub koń jest delfinem lub Ziemia jest płaska}}\).

Moim zdaniem używanie zbioru pustego w tym kontekście wyrabia złe intuicje uczniom, którzy przez takie "perełki" przychodzą na studia i ni chu chu nie kminią, co to ten zbiór pusty jest (wiem po sobie)...

Lepiej pisać, że równanie nie ma rozwiązań - proste zdania w języku polskim są najlepsze - nie wprowadzają nieporozumień

-- 1 gru 2014, o 22:10 --

Nie wiem, co jest w tym zbiorze.

-- 1 gru 2014, o 22:11 --

Ale przecież dziedziną równań, o których mówimy, są liczby, więc nie możemy pisać, że \(\displaystyle{ x}\) jest zbiorem albo krową.
Posty ak-47 xor Mitsuhide wydają mi się trafne.

Nie rozumiem, o co Ci chodzi.