Wykazać, że 0 jest granicą ciągu

[kanarinios]

witam, mam taki problem:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty} \frac{1}{ \sqrt[n]{\exp \frac{n\ln n}{103} } }}\)
ułamek po exp jest jeszcze w nawiasie i mam wykazać że 0 jest granicą powyższego ciągu ale nie mam pojęcia jak się za to zabrać, jakby ktoś mógł pomóc albo chociaż naprowadzić to byłbym wdzięczny

[yorgin]

Wskazówka:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\exp \frac{n\ln n}{103}}=\sqrt[103]{n}}\)

[kanarinios]

ok, a jeszcze jak byś wytłumaczył skąd się ta wskazówka bierze, z jakiego wzoru albo twierdzenia

[yorgin]

To są elementarne przekształcenia na logarytmach, funkcji wykładniczej oraz pierwiastkach. Tutaj nie ma żadnej magii.

[kanarinios]

niby, tak ale jakby chciało Ci się to rozpisać to byłoby fajnie

[musialmi]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\exp\left(\frac{n\ln n}{103}\right)}=\sqrt[n]{\exp\left(n\ln n^{1/103}\right)}=\sqrt[n]{\left\left(\exp\left(\ln n^{1/103}\right)\right)^{n}}=\exp\left(\ln n^{1/103}\right)=n^{1/103}=\sqrt[103]{n}}\)

[kanarinios]

dziękuje, ale czemu z dzielenia przez 103, nagle nam się robi \(\displaystyle{ \ln n^{1/103}}\) i później czemu podnosimy całe wyrażenie pod pierwiastkiem , a nie samo wyrażenie z ln?

[yorgin]

Odśwież sobie, co zacytuję:

To są elementarne przekształcenia na logarytmach, funkcji wykładniczej oraz pierwiastkach.

[kanarinios]

pierwszą część pytania już rozumiem tylko nadal nie mogę znaleźć odpowiedzi na to czemu podnosimy całe wyrażenie pod pierwiastkiem, a nie samą część z ln, więc jakby ktoś mógł wyjaśnić

[musialmi]

Z definicji \(\displaystyle{ \exp(x)=e^x}\). Podstaw za iksa to, co trzeba, i sprawdź czy teraz już widać Zapis \(\displaystyle{ \exp(x)}\) nie jest wygodny, jeśli chodzi o przekształcenia, ale jest wygodny, jeśli chodzi o widoczność małych literek w wykładniku potęgi.


Oczywiście można by też to robić tą drogą, którą widzisz:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\exp\left(n\ln n^{1/103}\right)}=\sqrt[n]{\left\exp\left(\ln n^{\left( 1/103\right) \cdot n }\right)}=\sqrt[n]{n^{\left( 1/103\right) \cdot n}}=\sqrt[n]{\left( n^{1/103}\right)^n }=n^{1/103}=\sqrt[103]{n}}\)

[kanarinios]

Zrozumiałem , Dziękuję za pomoc