VIII edycja Olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH"

[durendal96]

ja w 2. najpierw rozpisałem pod pierwiastkiem wzory skróconego mnożenia. Potem stronami pomnożyłem przez \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3}+ \sqrt{2} \right)^{x}}\) co po przekształceniu dało postać \(\displaystyle{ \left( \ \sqrt{3}+ \sqrt{2} \right)^{2x}-10\left( \ \sqrt{3}+ \sqrt{2} \right)^{x} + 1^{x}=0}\) i w tym momencie podstawiłem \(\displaystyle{ t= \left( \ \sqrt{3}+ \sqrt{2} \right)^{x}}\)

[AndrzejK]

ja w 2. najpierw rozpisałem pod pierwiastkiem wzory skróconego mnożenia.

Zrobiłem jak wyżej i podstawiłem \(\displaystyle{ y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x}\)

[wojteko10]

Rozwiązywał ktoś z was z Fizyki i podał by może swoje odpowiedzi ?

[ktysz]

A mógłby ktoś wytłumaczyć zadanie 4 osobie,która nie miała styczności z kombinatoryką? Nie rozumiem np. dlaczego nie można by tego podzielić na zbiory 2- czy 1-elementowe,bo wydaje mi się,że wtedy nie byłyby zbiorami pustymi.

[Konradek]

Zbiór pusty to taki zbiór, gdzie nie ma elementów.
Zbiór podany w zadaniu to zbiór \(\displaystyle{ n}\) początkowych liczb naturalnych dodatnich.
Wyobraź sobie ciężarówkę jabłek i trzy koszyki. Twoim zadaniem jest policzyć, jak wiele jest możliwości, aby rozdzielić jabłka do tych koszyków, żeby żaden nie był pusty, stąd oczywiste założenie, że w tej ciężarówce są co najmniej trzy jabłka.
Każde z nich (nie wiemy ile dokładnie ich jest, więc przyjmujemy, że \(\displaystyle{ n}\)) możesz przydzielić na \(\displaystyle{ 3}\) sposoby. Skoro jest ich \(\displaystyle{ n}\), to daje (z reguły mnożenia) \(\displaystyle{ 3^n}\) wszystkich możliwości. Jednak wśród nich są takie, kiedy jeden lub dwa koszyki są puste, zatem musimy je wykluczyć.
Dokładnie dwa koszyki mogą być puste na \(\displaystyle{ 3}\) sposoby (zapełniamy tylko jeden z trzech koszyków).
Dokładnie dwa koszyki można zapełnić na \(\displaystyle{ 2^n}\) sposobów (rozumując analogicznie do trzech koszyków), ale wliczając sytuacje, gdy jeden pozostaje pusty, co wykluczyliśmy wcześniej, a jest ich dokładnie dwie, więc żeby DOKŁADNIE jeden był pusty mamy \(\displaystyle{ 2^n-2}\) możliwości, przy czym trzeba to pomnożyć razy \(\displaystyle{ 3}\), ponieważ możemy przydzielać jabłka tylko do koszyka pierwszego i drugiego, lub tylko do pierwszego i trzeciego lub tylko do drugiego i trzeciego.
Więc takich możliwości, które nie spełniają warunków zadania jest \(\displaystyle{ 3+3(2^n-2)}\).
Na koniec trzeba dokładny wynik podzielić przez liczbę możliwych ustawień koszyków (nie interesuje nas, czy akurat w pierwszym koszyku jest \(\displaystyle{ 7}\) jabłek, w drugim \(\displaystyle{ 4}\), reszta w trzecim, bo jeżeli w pierwszym jest \(\displaystyle{ 4}\), w trzecim \(\displaystyle{ 7}\), a reszta w drugim to nadal ta sama sytuacja), a jest ich \(\displaystyle{ 3!}\) ,bo pierwszy koszyk można ustawić na trzy sposoby, drugi na dwa, a trzeci już tylko na jeden (znów reguła mnożenia).

[ktysz]

Dziękuje za wytłumaczenie Jednak pozostała nadal jedna kwestia,której nie rozumiem. Mam na myśli ostatni akapit. Dlaczego dzielimy ten wynik przez możliwa liczbę ustawień koszyków?

[Konradek]

Nazwijmy te koszyki \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\). Mogą one być Ustawione na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów:
\(\displaystyle{ ABC}\)
\(\displaystyle{ ACB}\)
\(\displaystyle{ BAC}\)
\(\displaystyle{ BCA}\)
\(\displaystyle{ CAB}\)
\(\displaystyle{ CBA}\)
Jeżeli powiem: "w jednym koszyku jest \(\displaystyle{ 7}\) jabłek, w drugim \(\displaystyle{ 4}\), a \(\displaystyle{ reszta}\) w trzecim", to mogę mieć na myśli \(\displaystyle{ 6}\) różnych ustawień, a z treści zadania wnioskujemy, że kolejność nie ma znaczenia, czyli ustawienia:
\(\displaystyle{ 7}\) \(\displaystyle{ 4}\) \(\displaystyle{ reszta}\)
\(\displaystyle{ 7}\) \(\displaystyle{ reszta}\) \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ 4}\) \(\displaystyle{ 7}\) \(\displaystyle{ reszta}\)
\(\displaystyle{ 4}\) \(\displaystyle{ reszta}\) \(\displaystyle{ 7}\)
\(\displaystyle{ reszta}\) \(\displaystyle{ 4}\) \(\displaystyle{ 7}\)
\(\displaystyle{ reszta}\) \(\displaystyle{ 7}\) \(\displaystyle{ 4}\)
traktujemy jako jedną możliwość.

[ktysz]

no tak... jest to dosyć oczywiste. Dziękuje

[Michalinho]

Odpowiedzi do matmy:
1. \(\displaystyle{ p=30k+r, k, r \in \mathbb{Z}, 0 \le r <30}\). Każda liczba złożona \(\displaystyle{ <30}\) ma dzielnik pierwszy mniejszy od 6, czyli 2, 3, 5, a więc dzielniki 30-stki. Wtedy p byłaby złożona czyli sprzeczność.
2. 2 i - 2
3. 4
4. \(\displaystyle{ \frac{3^n-3 \cdot 2^n+3 } {6}}\)
5.\(\displaystyle{ m in left(- infty, - 1
ight] cup left[ 1, infty
ight)}\)
6. Promienie równe wtedy suma pól najmniejsza. Jeden z promieni \(\displaystyle{ \frac{a} {2}}\) wtedy największa.
7. Tak jak AndrzejK rownania stycznych, krzywa to łuk okręgu o równaniu: \(\displaystyle{ (x+\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{9}{4}, x \le - \frac{5}{3}}\)-- 28 paź 2014, o 21:43 --

Rozwiązywał ktoś z was z Fizyki i podał by może swoje odpowiedzi ?

Podaj swoje, to powiem czy dobrze o ile będę pamiętać.

[brzyniak]

Czy w zadaniu czwartym nie powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{3 ^{n}-[3*(2^{n}-2)]+3 }{3!}}\) ?
Ja to robiłem w ten sposób:
Wszystkich możliwości podzału n- elementowego zbioru na 3 rozróżnialne podzbiory jest: \(\displaystyle{ 3^n}\), w tym możliwości gdy:
jeden podzbiór jest pusty:
\(\displaystyle{ {3 \choose 1} *(2^n-2)=3*(2^n-2)}\) - na 3 sposoby wybieramy jeden pusty podzbiór, na \(\displaystyle{ 2^n}\) sposobów rozmieszczamy elementy i odejmujemy 2 przypadki w których 2 pozbiory są puste.
Dwa podzbiory są puste:
\(\displaystyle{ {3 \choose 2} =3}\) - na trzy sposoby wybieramy dwa puste podzbiory.
Liczba: \(\displaystyle{ 3^n-[3*(2^n-2)+3]}\) opisuje liczbe podziałów n-elementowego zbioru na 3 niepuste, rozróznialne podzbiory, zatem by uzyskać rozwiązanie musimy podzielić tę liczby przez 3! (podzbiory podane w zadaniu są nierozróżnialne).

[Chewbacca97]

Liczba: \(\displaystyle{ 3^n-[3*(2^n-2)+3]}\) opisuje liczbe podziałów n-elementowego zbioru na 3 niepuste, rozróznialne podzbiory, zatem by uzyskać rozwiązanie musimy podzielić tę liczby przez 3! (podzbiory podane w zadaniu są nierozróżnialne).

Dokładnie, a rozpisując nawias: \(\displaystyle{ 3^{n}-\left[ 3 \cdot 2^{n} -6 + 3\right] = 3^{n} - 3 \cdot 2^{n} + 3}\). Całość dzielisz przez \(\displaystyle{ 3!}\) i dochodzisz do tego co ludzie w poprzednich postach.

Czyli ostateczny wynik to: \(\displaystyle{ \frac{3^{n} - 3 \cdot 2^{n} + 3}{3!}}\)

[AndrzejK]

Wie ktoś mniej więcej kiedy zawsze były wyniki?

[harlire]

Dołączam się do pytania

[rfyzs]

W tym roku były w pierwszym tygodniu stycznia.

[AndrzejK]

7 stycznia przyszłego roku będą wyniki - jest na stronie AGH