rownanie rozniczkowe 2 rzedu
-
robalinski
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 21:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gdansk
rownanie rozniczkowe 2 rzedu
czesc, prosilbym aby wskazac mi jaka metoda - jakiego podstawienia dokonac, aby dojsc do odpowiedzi. zadaniem jest wyznaczyc calke ogolna rownania: \(\displaystyle{ y'' + 4y = \frac{1}{sin(2x)}}\)
-
pogrzex
- Użytkownik
- Posty: 53
- Rejestracja: 4 lut 2009, o 12:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
rownanie rozniczkowe 2 rzedu
Jest to typowe równanie różniczkowe liniowe niejednorodne drugiego rzędu. Słowo "niejednorodne" automatycznie powinno nam nakreślić, że zaczynamy od utworzenia i rozwiązania równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ y''+4y'=0}\)
To jest równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego o współczynnikach stałych, metoda rozwiązywania takich równań jest banalna:
Podstawiamy \(\displaystyle{ y=e^{rx}}\) zaś \(\displaystyle{ y'=re^{rx}}\) natomiast \(\displaystyle{ y''=r^{2}e^{rx}}\), następnie po podstawieniu do równania tych wartości dzielimy równanie przez \(\displaystyle{ e^{rx}}\) i otrzymujemy tzw. równanie charakterystyczne z niewiadomą "r". Przeanalizujmy to równanie, obliczmy deltę oraz pierwiastki, które oznaczmy jako \(\displaystyle{ r_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ r_{2}}\). Jeśli delta jest większa od zera (tak jak w naszym przypadku) to rozwiązanie naszego równania:
\(\displaystyle{ y''+4y'=0}\)
po prostu odnajdujemy ze wzoru:
\(\displaystyle{ y_{1}=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}}\)
Spróbuj samemu poszukać jak wygląda ten wzór kiedy delta jest równa zero lub mniejsza od zera (przy czym zastanów się jak wyglądają pierwiastki z liczby ujemnej). Jak zapewne zauważyłeś nie napisałem \(\displaystyle{ y}\) lecz \(\displaystyle{ y_{1}}\) ma to swoje znaczenie, bo rozwiązanie ogólne równania:
\(\displaystyle{ y''+4y'= \frac{1}{sin(2x)}}\)
składa się z sumy rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego, co zapewne wiesz. Musimy znaleźć teraz tą całkę szczególną. Proponuję metodę uzmienniania stałej C, gdzie C staje się funkcją C(x) (czyli zostaje uzmienniona). W takim razie:
\(\displaystyle{ y_{1}=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}}\)
Dla znacznego ułatwienia obliczeń proponuję zrobić coś takiego:
\(\displaystyle{ y_{1}=C(x)(e^{r_{1}x}+e^{r_{2}x})}\) - to w tym punkcie właśnie uzmienniliśmy stałą C, przy okazji wyciągnęliśmy ją przed nawias dla łatwości obliczeń dalszych.
Poczytaj w książce o metodzie uzmienniania stałej i spróbuj sam dalej. Powodzonka.
\(\displaystyle{ y''+4y'=0}\)
To jest równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego o współczynnikach stałych, metoda rozwiązywania takich równań jest banalna:
Podstawiamy \(\displaystyle{ y=e^{rx}}\) zaś \(\displaystyle{ y'=re^{rx}}\) natomiast \(\displaystyle{ y''=r^{2}e^{rx}}\), następnie po podstawieniu do równania tych wartości dzielimy równanie przez \(\displaystyle{ e^{rx}}\) i otrzymujemy tzw. równanie charakterystyczne z niewiadomą "r". Przeanalizujmy to równanie, obliczmy deltę oraz pierwiastki, które oznaczmy jako \(\displaystyle{ r_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ r_{2}}\). Jeśli delta jest większa od zera (tak jak w naszym przypadku) to rozwiązanie naszego równania:
\(\displaystyle{ y''+4y'=0}\)
po prostu odnajdujemy ze wzoru:
\(\displaystyle{ y_{1}=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}}\)
Spróbuj samemu poszukać jak wygląda ten wzór kiedy delta jest równa zero lub mniejsza od zera (przy czym zastanów się jak wyglądają pierwiastki z liczby ujemnej). Jak zapewne zauważyłeś nie napisałem \(\displaystyle{ y}\) lecz \(\displaystyle{ y_{1}}\) ma to swoje znaczenie, bo rozwiązanie ogólne równania:
\(\displaystyle{ y''+4y'= \frac{1}{sin(2x)}}\)
składa się z sumy rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego, co zapewne wiesz. Musimy znaleźć teraz tą całkę szczególną. Proponuję metodę uzmienniania stałej C, gdzie C staje się funkcją C(x) (czyli zostaje uzmienniona). W takim razie:
\(\displaystyle{ y_{1}=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}}\)
Dla znacznego ułatwienia obliczeń proponuję zrobić coś takiego:
\(\displaystyle{ y_{1}=C(x)(e^{r_{1}x}+e^{r_{2}x})}\) - to w tym punkcie właśnie uzmienniliśmy stałą C, przy okazji wyciągnęliśmy ją przed nawias dla łatwości obliczeń dalszych.
Poczytaj w książce o metodzie uzmienniania stałej i spróbuj sam dalej. Powodzonka.
-
robalinski
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 21:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gdansk
rownanie rozniczkowe 2 rzedu
dziekuje za pomoc, nakierowalo mnie to na pewne tropy, lecz mam kilka pytan:
-pan rozwiazywal rownanie \(\displaystyle{ y''+4y'= \frac{1}{sin(2x)}}\), a w zadaniu mam \(\displaystyle{ y''+4y= \frac{1}{sin(2x)}}\)
co prawda to mnie nakierowalo gdzie w ksiazce szukac odpowiedzi ale w moim rownaniu wychodzi \(\displaystyle{ r ^{2}+1=0}\), wiec \(\displaystyle{ \Delta=-4}\) daje to nam dwa pierwiastki zespolone \(\displaystyle{ r_{1}=i}\) i \(\displaystyle{ r_{2}=-i}\) rozwiazanie rownania jednorodnego bedzie wygladalo wowczas:
\(\displaystyle{ y_{1}= C_{1}*cos(x)+C_{2}*sin(x)}\), nastepnie uzmienniamy stala
\(\displaystyle{ y_{1}= C(x)*(cos(x)+sin(x))}\), po zrozniczkowaniu
\(\displaystyle{ y'_{1}= C'(x)*(cos(x)+sin(x))+C(x)*(cos(x)-sin(x))}\)
i tu pytanie: rozniczkowac dalej zeby uzyskac y' i wstawic do rownania wyjsciowego?
po uzmiennianiu stalej C, nastepuje szukanie calki szczegolnej, w zadaniu jest polecenie aby znalezc calke ogolna, wiec na tym etapie mozna zaprzestac?
-pan rozwiazywal rownanie \(\displaystyle{ y''+4y'= \frac{1}{sin(2x)}}\), a w zadaniu mam \(\displaystyle{ y''+4y= \frac{1}{sin(2x)}}\)
co prawda to mnie nakierowalo gdzie w ksiazce szukac odpowiedzi ale w moim rownaniu wychodzi \(\displaystyle{ r ^{2}+1=0}\), wiec \(\displaystyle{ \Delta=-4}\) daje to nam dwa pierwiastki zespolone \(\displaystyle{ r_{1}=i}\) i \(\displaystyle{ r_{2}=-i}\) rozwiazanie rownania jednorodnego bedzie wygladalo wowczas:
\(\displaystyle{ y_{1}= C_{1}*cos(x)+C_{2}*sin(x)}\), nastepnie uzmienniamy stala
\(\displaystyle{ y_{1}= C(x)*(cos(x)+sin(x))}\), po zrozniczkowaniu
\(\displaystyle{ y'_{1}= C'(x)*(cos(x)+sin(x))+C(x)*(cos(x)-sin(x))}\)
i tu pytanie: rozniczkowac dalej zeby uzyskac y' i wstawic do rownania wyjsciowego?
po uzmiennianiu stalej C, nastepuje szukanie calki szczegolnej, w zadaniu jest polecenie aby znalezc calke ogolna, wiec na tym etapie mozna zaprzestac?
-
pogrzex
- Użytkownik
- Posty: 53
- Rejestracja: 4 lut 2009, o 12:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
rownanie rozniczkowe 2 rzedu
Zgadza się, mój błąd źle przepisałem. Tak więc będzie jak piszesz. Jeśli chodzi o dalsze różniczkowanie to tak, niestety musimy jeszcze raz zróżniczkować, aby uzyskać do podstawienia drugą pochodną. Choć pewnie jest jakiś szybszy sposób z podstawieniami y'=p ale ja bym nie ryzykował. W zadaniu jest polecenie znalezienia całki ogólnej równania:
\(\displaystyle{ y''+4y= \frac{1}{sin(2x)}}\)
Całką ogólną tegoż równania jest suma całki ogólnej równania:
\(\displaystyle{ y''+4y=0}\)
oraz całki szczególnej równania:
\(\displaystyle{ y''+4y= \frac{1}{sin(2x)}}\)
Twierdzenie to jest istotą rozwiązywania równań niejednorodnych.
\(\displaystyle{ y''+4y= \frac{1}{sin(2x)}}\)
Całką ogólną tegoż równania jest suma całki ogólnej równania:
\(\displaystyle{ y''+4y=0}\)
oraz całki szczególnej równania:
\(\displaystyle{ y''+4y= \frac{1}{sin(2x)}}\)
Twierdzenie to jest istotą rozwiązywania równań niejednorodnych.