Całka potrójna

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
tadu983
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 41 razy

Całka potrójna

Post autor: tadu983 » 24 paź 2014, o 12:11

Rozwiązuję takie zadanie:
\(\displaystyle{ \iiint\limits_V e^z \, dx\,dy\,dz}\), gdzie \(\displaystyle{ V=\left\{(x,y,z): (x,y) \in G , x^2+y^2 \le z \le \sqrt{x^2+y^2} \right\}}\) a \(\displaystyle{ G}\) jestkołem o środku w pkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\).
Liczę więć całkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{1}r dr \int_{r^2}^{r} e^z dz =\int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{1}r(e^r-e^{r^2})dr=(3-e)\pi}\) co sprawdziłem za pomoca wolframa
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... t%3D0..2pi
natomiast w książce jest wynik \(\displaystyle{ 2\pi}\) . Czy robię gdzieś błąd?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7720
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 236 razy
Pomógł: 3039 razy

Całka potrójna

Post autor: kerajs » 24 paź 2014, o 16:04

Przypuszczam że pomyliłeś się w liczeniu tej całki:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} (re ^{r}-re ^{r ^{2} } ) \mbox{d}r=(re ^{r}-e ^{r}- \frac{1}{2} e ^{r ^{2} })\left| _{0} ^{1} = (1-1- \frac{1}{2} )-(0-1- \frac{1}{2} )=1}\)

Teraz wynik będzie zgodny z zamieszczonym w książce.

tadu983
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 41 razy

Całka potrójna

Post autor: tadu983 » 24 paź 2014, o 16:40

No właśnie nie, bo
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} (re ^{r}-re ^{r ^{2} } ) \mbox{d}r=(re ^{r}-e ^{r}- \frac{1}{2} e ^{r ^{2} })\left| _{0} ^{1} = - \frac{1}{2} e +1 +\frac{1}{2}=- \frac{1}{2} e+ \frac{3}{2}}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7720
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 236 razy
Pomógł: 3039 razy

Całka potrójna

Post autor: kerajs » 24 paź 2014, o 16:42

Więc teraz wiesz gdzie autor książki popełnił błąd.

tadu983
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 6 kwie 2014, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 41 razy

Całka potrójna

Post autor: tadu983 » 24 paź 2014, o 17:15

No chyba masz rację. Dzięki.

ODPOWIEDZ