Witam,
Mam problem z zadaniem :
Wyznacz wzór na moment statyczny krzywej wzgledem Oy za pomocą całki oznaczonej.
\(\displaystyle{ y=cos(x) dla x \in < \frac{ \pi }{4}, \frac{ \pi }{2} >}\) jeśli gęstość \(\displaystyle{ g(x,y)=x}\)
Pozdrawiam, dzięki za pomoc
Wzór na moment statyczny krzywej.
-
smallares25
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 8 gru 2009, o 11:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mogilno
- Pomógł: 2 razy
Wzór na moment statyczny krzywej.
Witam,
Spróbuję rozwiązać Tobie to zadanie. Czy dobrze niech ocenią inni.
Współrzędne środka ciężkości figury \(\displaystyle{ D}\) to punkt \(\displaystyle{ \left( \frac{M_{y}}{M},\frac{M_{x}}{M}\right)}\)
Jeżeli gęstość podanej figury wynosi \(\displaystyle{ \rho \left( x,y \right)}\) wtedy:
\(\displaystyle{ M=\iint_{D}\rho \left( x,y\right) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ M_{x}=\iint_{D}y \cdot \rho \left( x,y\right) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ M_{y}=\iint_{D}x \cdot \rho \left( x,y\right) \mbox{d}x \mbox{d}}\)
Ty masz do policzenia \(\displaystyle{ M_{y}}\) ponieważ moment statystyczny ma być liczony względem Oy.
\(\displaystyle{ M_{y}= \int\limits_{x=\frac{\pi}{4}}^{x=\frac{\pi}{2}}\int\limits_{y=0}^{y=\cos x}x \cdot x \ \mbox{d}x \mbox{d}y = \int\limits_{x=\frac{\pi}{4}}^{x=\frac{\pi}{2}} x^{2} \mbox{d}x\int\limits_{y=0}^{y=\cos x} \ \mbox{d}y = \int\limits_{x=\frac{\pi}{4}}^{x=\frac{\pi}{2}} x^{2} \mbox{d}x \cdot \left[ y\right]_{0}^{\cos x}= \int\limits_{x=\frac{\pi}{4}}^{x=\frac{\pi}{2}} x^{2} \cdot \cos x = \star}\)
Teraz policzymy całkę nieoznaczoną:
\(\displaystyle{ \int x^{2} \cdot \cos x = \left[\begin{array}{cc}u=x^{2}&v\prime=\cos x \\u\prime =2\cdot x&v=\sin x\end{array}\right]=x^{2}\cdot \sin x -2 \int x\cdot \sin x = \left[\begin{array}{cc}u=x&v\prime=\sin x \\u\prime =1&v=-\cos x\end{array}\right]=}\)
\(\displaystyle{ =x^{2}\cdot\sin x-2\left[-x\cdot\cos x\ -\int -\cos x\mbox{d}x \right]= x^{2}\cdot \sin x +2\cdot x\cdot\cos x-2\cdot \sin x+C=}\)
\(\displaystyle{ =\left(x^{2} -2\right)\cdot \sin x +2\cdot x\cdot \cos x +C}\)
Mając policzoną całkę nieoznaczoną, możemy policzyć całkę oznaczoną:
\(\displaystyle{ \star = \int\limits_{x=\frac{\pi}{4}}^{x=\frac{\pi}{2}} x^{2}\cdot \cos x = \left[ \left( x^{2}-2\right)\cdot \sin x +2\cdot x\cdot \cos x \right]_{x=\frac{\pi}{4}}^{x=\frac{\pi}{2}}=}\)
\(\displaystyle{ =\left[ \left( \left( \frac{\pi}{2}\right)^{2}-2 \right)\cdot \sin \frac{\pi}{2}+2\cdot \frac{\pi}{2}\cdot \cos \frac{\pi}{2} \right]-\left[\left( \left( \frac{\pi}{4}\right)^{2}-2 \right)\cdot \sin \frac{\pi}{4}+2\cdot\frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{4} \right]=}\)
\(\displaystyle{ = \left[ \frac{\pi^{2}-8}{4}\cdot 1+\pi\cdot0\right]-\left[ \frac{\pi^{2}-32}{16}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right]=\frac{\pi^{2}}{4}-2-\left( \frac{\pi^{2}}{16}-2\right)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+-\frac{\pi\cdot \sqrt{2}}{4}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{\pi^{2}}{4}-2-\frac{\pi^{2}\cdot\sqrt{2}}{32}+\sqrt{2}-\frac{\pi\cdot\sqrt{2}}{4}=\frac{8\cdot\pi^{2}-64-\pi^{2}\sqrt{2}+32\sqrt{2}-8\cdot\pi\sqrt{2}}{32}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{\pi^{2}\left(8-\sqrt{2} \right)-8\cdot\pi\sqrt{2}+32\cdot\sqrt{2}-64}{32}=\frac{\pi^{2}\left( 8-\sqrt{2}\right)}{32}-\frac{\pi\cdot\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}-2}= M_{y}}\)
Gdy użyjemy kalkulatora wyjdzie nam taki oto wynik:
\(\displaystyle{ M_{y}=0,33471491562841317087149366815297>0}\)
To jest właśnie nasz szukany moment statyczny.
Sprawdźcie, czy to jest dobrze?
Spróbuję rozwiązać Tobie to zadanie. Czy dobrze niech ocenią inni.
Współrzędne środka ciężkości figury \(\displaystyle{ D}\) to punkt \(\displaystyle{ \left( \frac{M_{y}}{M},\frac{M_{x}}{M}\right)}\)
Jeżeli gęstość podanej figury wynosi \(\displaystyle{ \rho \left( x,y \right)}\) wtedy:
\(\displaystyle{ M=\iint_{D}\rho \left( x,y\right) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ M_{x}=\iint_{D}y \cdot \rho \left( x,y\right) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ M_{y}=\iint_{D}x \cdot \rho \left( x,y\right) \mbox{d}x \mbox{d}}\)
Ty masz do policzenia \(\displaystyle{ M_{y}}\) ponieważ moment statystyczny ma być liczony względem Oy.
\(\displaystyle{ M_{y}= \int\limits_{x=\frac{\pi}{4}}^{x=\frac{\pi}{2}}\int\limits_{y=0}^{y=\cos x}x \cdot x \ \mbox{d}x \mbox{d}y = \int\limits_{x=\frac{\pi}{4}}^{x=\frac{\pi}{2}} x^{2} \mbox{d}x\int\limits_{y=0}^{y=\cos x} \ \mbox{d}y = \int\limits_{x=\frac{\pi}{4}}^{x=\frac{\pi}{2}} x^{2} \mbox{d}x \cdot \left[ y\right]_{0}^{\cos x}= \int\limits_{x=\frac{\pi}{4}}^{x=\frac{\pi}{2}} x^{2} \cdot \cos x = \star}\)
Teraz policzymy całkę nieoznaczoną:
\(\displaystyle{ \int x^{2} \cdot \cos x = \left[\begin{array}{cc}u=x^{2}&v\prime=\cos x \\u\prime =2\cdot x&v=\sin x\end{array}\right]=x^{2}\cdot \sin x -2 \int x\cdot \sin x = \left[\begin{array}{cc}u=x&v\prime=\sin x \\u\prime =1&v=-\cos x\end{array}\right]=}\)
\(\displaystyle{ =x^{2}\cdot\sin x-2\left[-x\cdot\cos x\ -\int -\cos x\mbox{d}x \right]= x^{2}\cdot \sin x +2\cdot x\cdot\cos x-2\cdot \sin x+C=}\)
\(\displaystyle{ =\left(x^{2} -2\right)\cdot \sin x +2\cdot x\cdot \cos x +C}\)
Mając policzoną całkę nieoznaczoną, możemy policzyć całkę oznaczoną:
\(\displaystyle{ \star = \int\limits_{x=\frac{\pi}{4}}^{x=\frac{\pi}{2}} x^{2}\cdot \cos x = \left[ \left( x^{2}-2\right)\cdot \sin x +2\cdot x\cdot \cos x \right]_{x=\frac{\pi}{4}}^{x=\frac{\pi}{2}}=}\)
\(\displaystyle{ =\left[ \left( \left( \frac{\pi}{2}\right)^{2}-2 \right)\cdot \sin \frac{\pi}{2}+2\cdot \frac{\pi}{2}\cdot \cos \frac{\pi}{2} \right]-\left[\left( \left( \frac{\pi}{4}\right)^{2}-2 \right)\cdot \sin \frac{\pi}{4}+2\cdot\frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{4} \right]=}\)
\(\displaystyle{ = \left[ \frac{\pi^{2}-8}{4}\cdot 1+\pi\cdot0\right]-\left[ \frac{\pi^{2}-32}{16}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right]=\frac{\pi^{2}}{4}-2-\left( \frac{\pi^{2}}{16}-2\right)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+-\frac{\pi\cdot \sqrt{2}}{4}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{\pi^{2}}{4}-2-\frac{\pi^{2}\cdot\sqrt{2}}{32}+\sqrt{2}-\frac{\pi\cdot\sqrt{2}}{4}=\frac{8\cdot\pi^{2}-64-\pi^{2}\sqrt{2}+32\sqrt{2}-8\cdot\pi\sqrt{2}}{32}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{\pi^{2}\left(8-\sqrt{2} \right)-8\cdot\pi\sqrt{2}+32\cdot\sqrt{2}-64}{32}=\frac{\pi^{2}\left( 8-\sqrt{2}\right)}{32}-\frac{\pi\cdot\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}-2}= M_{y}}\)
Gdy użyjemy kalkulatora wyjdzie nam taki oto wynik:
\(\displaystyle{ M_{y}=0,33471491562841317087149366815297>0}\)
To jest właśnie nasz szukany moment statyczny.
Sprawdźcie, czy to jest dobrze?
Wzór na moment statyczny krzywej.
Zadanie dotyczy momentu statycznego krzywej, natomiast smallares25 podał rozwiązanie dla momentu statycznego pola. W prywatnej korespondencji powiedział mi, że to są 2 różne pojęcia.