Błąd w rozumowaniu - indukcja z sumą

[ms7]

Dobry wieczór.

Proszę o wskazanie błędu w moim rozumowaniu, ja go nie widzę, a prowadzący stwierdził że jest źle, nie wyjaśniając zbytnio w czym rzecz:

Do wykazania: \(\displaystyle{ \forall _{n \ge 2} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < 1}\).

1) Sprawdzam że zachodzi dla \(\displaystyle{ n=2}\). Prawda.

2) Zakładam że zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) i wykazuję że z tego wynika iż nierówność zachodzi także dla \(\displaystyle{ n+1}\):

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k^2} < 1 \Leftrightarrow \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(n+1)^2} < 1 \Leftrightarrow \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}< 1 - \frac{1}{(n+1)^2}}\)

Teraz stwierdzam że:

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}< 1 - \frac{1}{(n+1)^2}<1}\)
a zatem \(\displaystyle{ \forall _{n \ge 2} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < 1}\).

Co jest nie tak i w którym miejscu, oraz jak coś takiego poprawnie wykazać?

[Jan Kraszewski]

2) Zakładam że zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) i wykazuję że z tego wynika iż nierówność zachodzi także dla \(\displaystyle{ n+1}\):

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k^2} < 1 \Leftrightarrow \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(n+1)^2} < 1 \Leftrightarrow \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}< 1 - \frac{1}{(n+1)^2}}\)

Teraz stwierdzam że:

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}< 1 - \frac{1}{(n+1)^2}<1}\)
a zatem \(\displaystyle{ \forall _{n \ge 2} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < 1}\).

Co jest nie tak i w którym miejscu, oraz jak coś takiego poprawnie wykazać?

Wywnioskowałeś założenie z tezy, a nie tezę z założenia.

JK

[a4karo]

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}< 1 - \frac{1}{(n+1)^2}<1}\)

Nie wolno Ci korzystać z lewej nierówności, bo to właśnie ją masz udowodnić.

Dla tego zadania sa lepsze metody niz indukcja: \(\displaystyle{ \frac{1}{k}<\frac{1}{k(k-1)}}\)

EDIT Sorry,powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}}\)

[ms7]

Jak w takim razie to wykazać i na co zwrócić uwagę następnym razem, aby nie popełniać błędów tego typu? Jest w tym rozumowaniu może jakiś etap w którym 'wszystko się wali'?

[Jan Kraszewski]

na co zwrócić uwagę następnym razem, aby nie popełniać błędów tego typu?

Trzeba rozumieć, co się robi - nie ma innej drogi...

Jest w tym rozumowaniu może jakiś etap w którym 'wszystko się wali'?

Tak, w momencie, jak mylisz tezę z założeniem.

JK

[ms7]

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}< 1 - \frac{1}{(n+1)^2}<1}\)

Nie wolno Ci korzystać z lewej nierówności, bo to właśnie ją masz udowodnić.

Dla tego zadania sa lepsze metody niz indukcja: \(\displaystyle{ \frac{1}{k}<\frac{1}{k(k-1)}}\)

EDIT Sorry,powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}}\)

Mógłbym jednak prosić o wskazówkę do metody indukcyjnej, gdyż takie mam polecenie do tego zadania?

[bosa_Nike]

Udowodnij mocniejszą nierówność. Chyba \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}<1-\frac{1}{n}}\) będzie ok.

[ms7]

Dzięki bosa_Nike!

Mam teraz taki dowód:
Aby dowieźć pierwotnej nierówności wystarczy pokazać, że: \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}<1-\frac{1}{n}}\)

1) Sprawdzam że zachodzi dla \(\displaystyle{ n=2}\).

2) Zakładam więc że zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) i pokazuję że zachodzi też dla \(\displaystyle{ n+1}\):

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2}<1-\frac{1}{n+1}}\)

teraz rozpatruję lewą stronę nierówności:
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2}<\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}<1- \frac{1}{n} + \frac{1}{1+n^2}<1-\frac{1}{n+1}}\)

aby stwierdzić że zachodzi ostatnia nierówność
sprawdzam czy \(\displaystyle{ -\frac{1}{n+1}>-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}}\) okazuje się że rozpatrywane \(\displaystyle{ n \ge 2}\) spełniają tę nierówność, więc wszystko się zgadza.

Czy teraz ten dowód jest w porządku?

[a4karo]

Kluczowej nierówności \(\displaystyle{ -\frac{1}{n+1}>-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}}\) jednak nie dowiodłeś. Nie wolno Ci napisać ostatniej nierówności w równaniu zaczynającym się od \(\displaystyle{ L=\ldots}\), dopóki tego nie pokażesz.

[ms7]

Okej, czyli w tym miejscu:
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2}<\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}<1- \frac{1}{n} + \frac{1}{1+n^2}}\)

muszę napisać, coś w stylu, zauważmy że zachodzi: \(\displaystyle{ -\frac{1}{n+1}>-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}}\)
i rozwiązać tę nierówność w celu pokazania że na prawdę tak jest.

Następnie mogę zapisać, że z tego wynika, iż:
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2}<\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}<1- \frac{1}{n} + \frac{1}{1+n^2}<1-\frac{1}{n+1}}\)


Czy teraz już jest dobrze?

[a4karo]

Ależ jesteś uparty. Po pierwsze mylisz \(\displaystyle{ (n+1)^2}\) z \(\displaystyle{ n^2+1}\), a po drugie nie chcesz udowodnić tego, co jest KLUCZEM w tym dowodzie, czyli nierówności, o której pisałem wyżęj. Tak długo jak będziesz pisał "zauważmy że zachodzi:" a nie przedstawisz dowodu tego faktu, Twoje rozumowanie nie będzie kompletne.

[ms7]

Doprowadzam lewą stronę do tego:
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2}<\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}<1- \frac{1}{n} + \frac{1}{(1+n)^2}}\)

Prawdą jest że:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{n+1}>-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}}\)
Dowód powyższej nierówności:
mnożę ją stronami przez \(\displaystyle{ n(n+1)^2}\) założyliśmy że \(\displaystyle{ n \ge 2}\) więc mnożę przez liczbę dodatnią.

\(\displaystyle{ -n(n+1)>-(n+1)^2+n}\)

\(\displaystyle{ -n^2-n>-n^2-2n-1+n}\)

\(\displaystyle{ 0>-1}\)
Nierówność została wykazana.

A zatem prawdą jest:
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2}<\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}<1- \frac{1}{n} + \frac{1}{(1+n)^2}<1-\frac{1}{n+1}}\)


Czy teraz jest już dobrze?
Przepraszam za moją 'upartość' jest ona motywowana tym, iż chcę to w końcu zrozumieć, a nie odpuścić i jechać dalej na gapę.

[henryk pawlowski]

Do ms7 Nie wolno zakładać prawdziwości nierówności dla DOWOLNEGO n i przy tym pokazywać jej prawdziwość dla n+1,bo...,co tu jeszcze pokazywać?! Przecież założyłeś to ,czego masz dowieść. Natomiast w kroku indukcyjnym należy dowieść,że dla każdego n,jeśli podana nierówność zachodzi dla n ,to zachodzi dla n+1.
Jeśli pomagasz koledze,to rób to mądrze!