\(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty } \left( \sqrt{x+ \sqrt{x + \sqrt{x} } } - \sqrt{x} \right)}\)
Próbuję i próbuję i wychodzi zero.
Granica z pierwiastkami
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8714
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 338 razy
- Pomógł: 3434 razy
Granica z pierwiastkami
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty } \left( \sqrt{x+ \sqrt{x + \sqrt{x} } } - \sqrt{x} \right)=
\lim_{ x\to +\infty } \frac{\left( \sqrt{x+ \sqrt{x + \sqrt{x} } } - \sqrt{x} \right) \cdot \left( \sqrt{x+ \sqrt{x + \sqrt{x} } } + \sqrt{x} \right)}{ \sqrt{x+ \sqrt{x + \sqrt{x} } } + \sqrt{x} } =
\lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x + \sqrt{x} } }{ \sqrt{x+ \sqrt{x + \sqrt{x} } } + \sqrt{x} } = \lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x(1 + \frac{ \sqrt{x} }{x} ) } }{ \sqrt{x(1+ \frac{ \sqrt{x + \sqrt{x} } }{x} )}+ \sqrt{x}} = \lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x}+ \sqrt{x} } =\\= \frac{1}{2}}\)
\lim_{ x\to +\infty } \frac{\left( \sqrt{x+ \sqrt{x + \sqrt{x} } } - \sqrt{x} \right) \cdot \left( \sqrt{x+ \sqrt{x + \sqrt{x} } } + \sqrt{x} \right)}{ \sqrt{x+ \sqrt{x + \sqrt{x} } } + \sqrt{x} } =
\lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x + \sqrt{x} } }{ \sqrt{x+ \sqrt{x + \sqrt{x} } } + \sqrt{x} } = \lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x(1 + \frac{ \sqrt{x} }{x} ) } }{ \sqrt{x(1+ \frac{ \sqrt{x + \sqrt{x} } }{x} )}+ \sqrt{x}} = \lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x}+ \sqrt{x} } =\\= \frac{1}{2}}\)
Ostatnio zmieniony 22 paź 2014, o 19:17 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.
-
marcin195
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 wrz 2009, o 17:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warsaw
- Podziękował: 6 razy
Granica z pierwiastkami
Ostatni krok, mianownik. Mógłbyś wytłumaczyć czemu z niego wyjdzie dwa? Doszedłem do tej postaci, ale nie poradziłem sobie z mianownikiem.
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3247
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Granica z pierwiastkami
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x}+ \sqrt{x} }=\lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x} }{ 2\sqrt{x}}}\)
-
marcin195
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 wrz 2009, o 17:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warsaw
- Podziękował: 6 razy
Granica z pierwiastkami
Dzięki, spróbuję jeszcze raz sam zrobić, bo robiłem identycznie...
Kacperdev, bez przesady Kolega wyżej edytowałem post, moja wypowiedź nie tego dotyczyła.
Wyszło, dzięki za czas
Kacperdev, bez przesady Kolega wyżej edytowałem post, moja wypowiedź nie tego dotyczyła.
Wyszło, dzięki za czas
Ostatnio zmieniony 22 paź 2014, o 19:34 przez marcin195, łącznie zmieniany 1 raz.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8714
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 338 razy
- Pomógł: 3434 razy
Granica z pierwiastkami
W trakcie dopisywania problematycznego fragmentu napisałeś kolejny post. Więc rozwinę ten fragment
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x(1 + \frac{ \sqrt{x} }{x} ) } }{ \sqrt{x(1+ \frac{ \sqrt{x + \sqrt{x} } }{x} )}+ \sqrt{x}} = \lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x}+ \sqrt{x} } =\lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x(1 + \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } ) } }{ \sqrt{x(1+ \frac{ \sqrt{x} \sqrt{1+ \frac{1}{ \sqrt{x} } } }{x} )}+ \sqrt{x}} = \lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } } }{ \sqrt{x} \left( \sqrt{1+ \frac{ \sqrt{1+ \frac{1}{ \sqrt{x} } } }{ \sqrt{x} } )}+ 1\right)} = \lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x}(1+1) } = \frac{1}{2}}\)
Gwoli formalności , to przedostatniego wyrażenia nie powinno być, natomiast w drugim od końca powinieneś uprościć wyciągnięty z licznika i mianownika pierwiastek z x.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x(1 + \frac{ \sqrt{x} }{x} ) } }{ \sqrt{x(1+ \frac{ \sqrt{x + \sqrt{x} } }{x} )}+ \sqrt{x}} = \lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x}+ \sqrt{x} } =\lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x(1 + \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } ) } }{ \sqrt{x(1+ \frac{ \sqrt{x} \sqrt{1+ \frac{1}{ \sqrt{x} } } }{x} )}+ \sqrt{x}} = \lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } } }{ \sqrt{x} \left( \sqrt{1+ \frac{ \sqrt{1+ \frac{1}{ \sqrt{x} } } }{ \sqrt{x} } )}+ 1\right)} = \lim_{ x\to +\infty } \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x}(1+1) } = \frac{1}{2}}\)
Gwoli formalności , to przedostatniego wyrażenia nie powinno być, natomiast w drugim od końca powinieneś uprościć wyciągnięty z licznika i mianownika pierwiastek z x.