Dowodzenie praw rozkładu kwantyfikatorów

[Kratos]

Mam do Was prośbę o pomoc, bo już drugi dzień kilka godzin siedzę nad zadaniami i nie za bardzo wiem jak je zrobić, bo ciężko mi to zrozumieć.
Mam udowodnić kilka praw rozkładu kwantyfikatorów.
Jedno z nich to: \(\displaystyle{ \forall x(\varphi (x)\Leftrightarrow\psi (x))\Rightarrow (\forall x \varphi (x)\Leftrightarrow \forall x \psi (x))}\)
Zacząłem od tego, że spróbowałem wykazać sprzeczność w sytuacji, gdy wyrażenie jest fałszywe.
Dlatego założyłem, że:
\(\displaystyle{ \forall x(\varphi (x)\Leftrightarrow\psi (x))=1}\)
I \(\displaystyle{ (\forall x \varphi (x)\Leftrightarrow \forall x \psi (x)) = 0}\)
Jednak co zrobić teraz? Przy dowodzeniu tautologii w rachunku zdań nie miałem z tym problemów, lecz idea dodania tutaj kwantyfikatorów spowodowała u mnie zamieszanie.
Byłbym wdzięczny za próbę wytłumaczenia mi tego.
Pozdrawiam.

[Jan Kraszewski]

A może masz na myśli rachunek kwantyfikatorów, a nie ich rozkład?

Dlatego założyłem, że:
\(\displaystyle{ \forall x(\varphi (x)\Leftrightarrow\psi (x))=1}\)
I \(\displaystyle{ (\forall x \varphi (x)\Leftrightarrow \forall x \psi (x)) = 0}\)
Jednak co zrobić teraz? Przy dowodzeniu tautologii w rachunku zdań nie miałem z tym problemów, lecz idea dodania tutaj kwantyfikatorów spowodowała u mnie zamieszanie.

Nic dziwnego, bo to nie jest mechaniczna procedura.

Co to znaczy, że zdanie \(\displaystyle{ \forall x(\varphi (x)\Leftrightarrow\psi (x))}\) jest prawdziwe? Co to znaczy, że zdanie \(\displaystyle{ (\forall x \varphi (x)\Leftrightarrow \forall x \psi (x))}\) jest fałszywe?

JK

[Kratos]

A może masz na myśli rachunek kwantyfikatorów, a nie ich rozkład?

Polecenie do zadania brzmi "Proszę udowodnić podane prawa rozkładu kwantyfikatora (np. metodą skróconego sprawdzania)".

Co to znaczy, że zdanie \(\displaystyle{ \forall x(\varphi (x)\Leftrightarrow\psi (x))}\) jest prawdziwe?

Właśnie z tym mam problem, czy oznacza to, że kwantyfikator tyczy się całego wyrażenia? Czyli jeśli
\(\displaystyle{ \varphi \Leftrightarrow \psi = 1}\) to \(\displaystyle{ \forall x}\) jest wtedy prawdziwy? A może chodzi tutaj o tabelkę z klasami form zdaniowych, o których mój wykładowca zdążył tylko wspomnieć?

Co to znaczy, że zdanie \(\displaystyle{ (\forall x \varphi (x)\Leftrightarrow \forall x \psi (x))}\) jest fałszywe?

Bo z tym (chyba) nie mam problemów, bo skoro \(\displaystyle{ (\forall x \varphi (x)\Leftrightarrow \forall x \psi (x))}\) jest fałszywe to oznacza to \(\displaystyle{ \forall x \varphi(x)}\) musi być prawdziwe i \(\displaystyle{ \forall x \psi (x)}\) musi być fałszywe lub na odwrót, tak?

Myślę, że moje problemy wynikają z tego, że na wykładzie nie mieliśmy wspomniane o rachunku kwantyfikatorów, tylko o tym co to jest kwantyfikator i o prawach de Morgana dotyczących kwantyfikatorów.

[Premislav]

Właśnie z tym mam problem, czy oznacza to, że kwantyfikator tyczy się całego wyrażenia?

Nie za bardzo wiem, co masz na myśli, ale jeśli dobrze interpretuje, to tak. Tłumacząc na ludzki: nie ma takiego \(\displaystyle{ x}\), że dokładnie jedno z \(\displaystyle{ \varphi(x), \psi(x)}\) jest prawdziwe. A jeszcze inaczej: dla każdego \(\displaystyle{ x}\) albo oba są prawdziwe, albo oba fałszywe.

[Kratos]

Czyli w takim razie ten dowód jest poprawny?
\(\displaystyle{ 1^{\circ} \ \forall x(\varphi (x)\Leftrightarrow\psi (x))\Rightarrow (\forall x \varphi (x)\Leftrightarrow \forall x \psi (x)) = 0}\) {zał.}
\(\displaystyle{ 2^{\circ} \ \forall x(\varphi (x)\Leftrightarrow\psi (x)) = 1}\)
\(\displaystyle{ 3^{\circ}\ \forall x \varphi (x)\Leftrightarrow \forall x \psi (x) = 0}\)
\(\displaystyle{ 4^{\circ} \ \forall x \varphi (x) = 1}\)
\(\displaystyle{ 5^{\circ} \ \forall x \psi (x) = 0}\)
\(\displaystyle{ 6^{\circ} \ \varphi \in T}\)
\(\displaystyle{ 7^{\circ} \ \psi \notin T}\)
\(\displaystyle{ 8^{\circ} \ \varphi \Leftrightarrow \psi \notin T}\)
\(\displaystyle{ 9^{\circ} \ \forall x(\varphi (x)\Leftrightarrow\psi (x)) = 0}\)

A z tego wynika, że sprzeczność jest w punkcie 2 i 9.

[Jan Kraszewski]

A co ma znaczyć 6, 7 i 8 ?

JK

[Kratos]

Klasy form atomowych (T - true, F - false i U - unspecified). Nie wiem tylko czy można je zastąpić czysto zero jedynkowymi wartościami.

[Jan Kraszewski]

Zastąpić na pewno nie można. Jeżeli dobrze domyślam się znaczenia "klas form atomowych", to rozumowanie byłoby poprawne.

JK

[Kratos]

Dziękuję za pomoc.
Pozdrawiam