Obliczenie amplitudy drgań wahadła

[Michael2318]

Witam!

Walczę od kilku dni z jednym zadaniem (dostałem zbiór zadań do przeliczenia i ogarnąłem wszystkie zadania prócz tego). Treść zadania wygląda tak:

Energia całkowita wahadła o długości 10cm i masie 200g wynosi 3000J. Wyznacz amplitudę tego wahadła.

Dane:
l = 10cm = 0,1m
m = 200g = 0,2kg
Ec = 3000J
A = ?

Przekształciłem sobie wzór na Ec, wygląda on tak:

A = \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2 * Ec}{k}}}\)

k to współczynnik sprężystości, możemy go wyznaczyć, przekształcając wzór na okres drgań oscylatora harmonicznego, jednak w zadaniu nie podano ile wynosi g, a jak wstawiam 9,81 to wychodzą jakieś głupoty (wiem stąd, że mam odpowiedzi do zadań, ale cóż mi z tego jak wyliczyć tego nie potrafię).

Nakieruje mnie ktoś na rozwiązanie mojego problemu? Gdybym potrafił wyznaczyć chociaż ten współczynnik sprężystości to już jestem w domu.

Dzięki.

[oktafka]

Energia całkowita:

\(\displaystyle{ E= \frac{1}{2}kA ^{2} \rightarrow A= \sqrt{ \frac{2E}{k} }}\)

Okres drgań wahadła matematycznego o długości L:

\(\displaystyle{ T=2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} }}\)

Częstość kołowa drgań:

\(\displaystyle{ \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} }}\)

Związek częstości kołowej z okresem:

\(\displaystyle{ \omega= \frac{2 \pi }{T}}\)

Po przyrównaniu:

\(\displaystyle{ \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} }= \frac{2 \pi }{T}}\)

\(\displaystyle{ \frac{k}{m} = \frac{4 \pi ^{2} }{T ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ k=\frac{4 \pi ^{2} }{T ^{2} }m=\frac{4 \pi ^{2} }{4 \pi ^{2} \frac{L}{g} } m}\)

\(\displaystyle{ k= \frac{mg}{L}}\)

\(\displaystyle{ A= \sqrt{ \frac{2E}{k} } =\sqrt{ \frac{2E}{ \frac{mg}{L} } }= \sqrt{ \frac{2EL}{mg} }}\)

[Michael2318]

Dzięki za szybką odpowiedź. Nadal jednak mam problem, ponieważ w odpowiedziach mam podane, że amplituda wynosi 7,32m. Jak wszystko podstawię pod wzór to nie otrzymuję takiego wyniku (g = 9,81 CHYBA bo w zadaniu tego nie podano).

Czy w takim wypadku odpowiedź, która została mi podana jest błędna?

[oktafka]

Mnie wychodzi A=17,32m, może rzeczywiście błędna odpowiedź.
(przyspieszenie ziemskie przyjęłam g=10m/s2)

[Michael2318]

Ale we wzorze na k, które podałaś też mam jedno zastrzeżenie. Nie wnikam co i jak jeśli chodzi o Twoje wzory bo ja tak naprawdę kuleję z fizyką, więc będę bazował na tym co sam wiem.

Wzór na okres drgań wahadła matematycznego:

\(\displaystyle{ T=2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }}\)

Po przekształceniu:

\(\displaystyle{ k = \frac{m}{(\frac{T}{2 \pi })^{2}}}\)

Podstawiając do tego wzoru wartości:

\(\displaystyle{ k = \frac{0,2kg}{(\frac{0,000628s}{6,28 })^{2}}}\)

tak więc:

k = 20019492,4 (ten wynik jest strasznie duży, ale tak wychodzi z tego wzoru, liczyłem to kilka razy)

Natomiast z Twojego wzoru:

\(\displaystyle{ k= \frac{mg}{L}}\)

wychodzi 19,62.

Możesz mi powiedzieć gdzie jest błąd?

[oktafka]

Wzór na okres drgań wahadła matematycznego:

\(\displaystyle{ T=2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} }=2 \pi \sqrt{ \frac{0,1m}{10 \frac{m}{s ^{2} } } } \approx 0,6283s}\)

\(\displaystyle{ k= \frac{0,2kg}{ \frac{0,6283 ^{2} s ^{2} }{6,28 ^{2} } } \approx 19,98 \frac{N}{m}}\)

[kruszewski]

Kolega Michael2318 pisze:
Energia całkowita wahadła o długości 10cm i masie 200g wynosi 3000J. Wyznacz amplitudę tego wahadła. (treść zadania)
i dalej:
"ponieważ w odpowiedziach mam podane, że amplituda wynosi 7,32m."
To zapytam jaka masa 'bujając" się na nici o długości 10 cm (0,1 m) buja się z amplitudą 70 razy większą niż nić na której wisi "bujadło"?
Zapytam też czego to "k" jest współczynnikiem sprężystości? Jakiego elementu?
Mam wrażenie, że miary nici i masy są pomniejszone. Masy 10 krotnie, a nici 100 krotnie.
Powinno być : m=2 kg, l=10 m. Wtedy wynik będzie jak podano w rozwiązaniu.
Wystarczy tu zastosować równanie energii położenia, wyliczyć wysokość położenia masy w górnym położeniu, (jest to omal 6 m) i z równania na kąty i długość łuku otrzymuje się owe 7,32 m.
Wzorki an energię i amplitudę drgań z użyciem w nich stałej sprężystości dotyczą drgań mas wiszących na sprężynach o liniowej charakterystyce.

W.Kr.