Równanie funkcyjne z WM

[etyre]

Znalazłem na zadaniach z WM w Staszicu równanie, do którego nie wiem jak podejść. Wiem, amatorstwo, ale się uczę Dzięki za pomoc

Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : R \rightarrow R}\), ciągłe, spełniające własność dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in R}\):
\(\displaystyle{ f(f(x)) = f(x) + x}\)

[zex]

Sugerowałbym sprawdzanie wielomianów, stałego, stopnia 1 itd...

[czeslaw]

zex, polecam zapoznac się z metodami rozwiązywania równań funkcyjnych. To że znajdziesz jakąś funkcję która spełnia to rownanie, nie znaczy że je rozwiązaleś.



Może się przyda.

[zex]

czeslaw, znalezienie jakiegoś rozwiązania to już coś, od czego można zacząć...

[Jaworekk]

Widać , że funkcja f(x) nie może w swoim rozwinięciu w szereg , składnik z x w najwyższej potędze nie może być rzędu \(\displaystyle{ x^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Bo wtedy po lewej stronie równania pojawi składnik rzędu \(\displaystyle{ x^{n^{2}}}\) a po prawej będzie dalej tylko \(\displaystyle{ x^{n}}\). Pozostają więc wyraz liniowy i stały:

\(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\)

\(\displaystyle{ a(ax+b) + b = ax + b + x}\)

\(\displaystyle{ x(a^{2} - a - 1) = -ab}\)

Aby bylo spelnione dla każdego x, obie strony muszą być równe 0:

\(\displaystyle{ ab=0 \longrightarrow b=0}\)

\(\displaystyle{ a^{2} - a - 1 = 0 \longrightarrow a=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \vee a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\)

pozostaje pytanie, co z funkcjami, które mają nieskonczenie wiele wyrazów w rozwinięciu w szereg

[alef0]

Widać , że funkcja f(x) nie może w swoim rozwinięciu w szereg , składnik z x w najwyższej potędze nie może być rzędu \(\displaystyle{ x^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Bo wtedy po lewej stronie równania pojawi składnik rzędu \(\displaystyle{ x^{n^{2}}}\) a po prawej będzie dalej tylko \(\displaystyle{ x^{n}}\). Pozostają więc wyraz liniowy i stały:

\(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\)

\(\displaystyle{ a(ax+b) + b = ax + b + x}\)

\(\displaystyle{ x(a^{2} - a - 1) = -ab}\)

Aby bylo spelnione dla każdego x, obie strony muszą być równe 0:

\(\displaystyle{ ab=0 \longrightarrow b=0}\)

\(\displaystyle{ a^{2} - a - 1 = 0 \longrightarrow a=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \vee a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\)

pozostaje pytanie, co z funkcjami, które mają nieskonczenie wiele wyrazów w rozwinięciu w szereg

hmm... ale rozwijanie w szereg wiąże się z różniczkowalnością (chyba że myślisz o rozwijaniu w szereg, którego nie znam). W założeniach nie ma nic o różniczkowaniu funkcji \(\displaystyle{ f}\)

ja na razie doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ f}\) musi być różnowartościowa (co z ciągłością daje monotoniczność) i \(\displaystyle{ f(0)=0}\)