Długość między środkami okręgu wpisanego a dopisanymi

[misiek231]

Wykaż, że okrąg opisany na trójkącie dzieli na połowy odcinki łączące środek okręgu wpisanego w trójkąt ze środkami okręgów dopisanych.

Rozrysowałem sobie wszystko, ale nie mam zielonego pojęcia jak się za to zabrać.

[micha73]

hint:    

Niech \(\displaystyle{ A,B,C}\) będą wierzchołkami danego trójkąta. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ I}\) środek okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) i przez \(\displaystyle{ I_A}\) środek okręgu dopisanego do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) na przeciwko wierzchołka \(\displaystyle{ A}\). Pokaż trzy rzeczy:
\(\displaystyle{ 1.}\) Dwusieczna \(\displaystyle{ \angle BAC}\) i symetralna \(\displaystyle{ BC}\) przecinają się w punkcie leżącym na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\).
\(\displaystyle{ 2.}\) Ten punkt jest równoodległy od punktów \(\displaystyle{ B,C,I}\).
\(\displaystyle{ 3.}\) Punkty \(\displaystyle{ B,I,C,I_A}\) leżą na jednym okręgu.

[norwimaj]

Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie punktem przecięcia okręgu opisanego na \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) i dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ B}\). Możesz zacząć od zauważenia trójkątów przystających, jak na rysunku:

1.png (19.44 KiB) Przejrzano 712 razy