Wykaż prawdziwość wzoru

[blade]

\(\displaystyle{ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)}\)

zacząłbym tak :
\(\displaystyle{ (A \cup B) \cup C \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \vee x \in C}\)
i teraz nie wiem co dalej, myślałem żeby dać \(\displaystyle{ \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \vee x \in C \Leftrightarrow x \in A \vee (x \in B \vee x \in C) \Leftrightarrow A \cup (B \cup C)}\) ale podejrzewam, że prawa strona nie została dobrze wykazana, dlatego proszę o poprawienie lub naprowadzenie na dobrą odpowiedź.
Z góry dziękuję

[a4karo]

A co to znaczy, że zbiór jest prawdziwy?

Pierwsza równoważność jest skopana (pojawia się \(\displaystyle{ x}\) znikąd)

Zacznij \(\displaystyle{ x\in(A\cup B)\cup C \Leftrightarrow \dots}\) i dalej pojdzie

[blade]

ech, zapędziłem się miało być prawdziwość wzoru, nie zbioru, przepraszam

[Jan Kraszewski]

Pomysł jest dobry, tyle, że jak wytknął Ci a4karo, zbiór nie może być równoważny funkcji zdaniowej. Warto też napisać, z jakiego prawa rachunku zdań korzystasz (i w którym miejscu).

JK

[blade]

W takm razie zrobiłbym to tak :
\(\displaystyle{ x \in (A \cup B) \cup C \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \vee x \in C \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \vee x \in C \Leftrightarrow x \in A \vee (x \in B \vee x \in C) \Leftrightarrow x \in A \cup (B \cup C)}\)

Warto też napisać, z jakiego prawa rachunku zdań korzystasz (i w którym miejscu).

Mógłbyś trochę przybliżyć? W książce, którą zacząłem przerabiać nie zostało nic wspomniane jak to używać przy wykazywaniu.

Domyślam się, że masz na myśli alternatywe, koniunkcje, równoważność?

[a4karo]

Z czegoś jednak korzystasz pisząc kolejne równoważności. Uświadom to sobie (a dla pełności rozwiązania nazwij )

[blade]

Z czegoś jednak korzystasz pisząc kolejne równoważności. Uświadom to sobie (a dla pełności rozwiązania nazwij )

Jakoś tego nie widzę :/
Mógłbyś wskazać mi pierwszą tautologię, żebym mógł zobaczyć na czym to polega?

[a4karo]

W tym specjalistą jest JK

[Jan Kraszewski]

Mógłbyś trochę przybliżyć? W książce, którą zacząłem przerabiać nie zostało nic wspomniane jak to używać przy wykazywaniu.

Domyślam się, że masz na myśli alternatywe, koniunkcje, równoważność?

Matematyka to nie nauka algorytmów, dlatego tak ważne jest rozumienie, dlaczego dowód wygląda tak, a nie inaczej.

W wersji "full" ten dowód powinien w ogóle zaczynać się stwierdzeniem, że ustalamy dowolny element \(\displaystyle{ x}\), a kończyć uwagą, że ponieważ zbiory mają takie same elementy, to na mocy zasady ekstensjonalności są równe. Natomiast uzasadnienie kolejnych równoważności jest takie (dowód zresztą lekko poprawię, bo są tam dwa (akceptowalne) skróty myślowe i jedno zbędne przejście):

\(\displaystyle{ x \in (A \cup B) \cup C \Leftrightarrow (x \in A\cup B) \vee x \in C\Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \vee x \in C \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x \in A \vee (x \in B \vee x \in C)\Leftrightarrow x \in A \vee (x \in B\cup C) \Leftrightarrow x \in A \cup (B \cup C)}\)

Równoważności 1., 2., 4., 5. - definicja sumy dwóch zbiorów.
Równoważność 3. - prawo łączności alternatywy

JK

[blade]

Dziękuję bardzo za pomoc, trochę mi się rozjaśniło