Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie zbiorem wsstkich funkcji \(\displaystyle{ f: R \rightarrow R}\) postaci \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\). Udowodnić że G ze składaniem funkcji jako działaniem tworzy grupę.
Czy mógłby ktoś pokazać mi przykładowe rozwiązanie jak się udowadnia, że jest to grupa? Znam te trzy podstawowe warunki aby była to grupa. Z definicji próbuję przekształcać ale nie jestem pewien tego co robię. np. jaki tutaj będzie element neutralny?
Pokazać, że jest to grupa.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Pokazać, że jest to grupa.
Powinno być założenie o niezerowości \(\displaystyle{ a}\), bo inaczej to nie jest prawdą (np. funkcja stale równa \(\displaystyle{ 0}\) nie ma elementu odwrotnego, bo łatwo zauważyć, biorąc dwa dowolne niezerowe argumenty, że z niczym się nie składa do identyczności; podobnie można postąpić dla \(\displaystyle{ f(x)=b}\) dla każdego \(\displaystyle{ b \in \RR}\)).
Istnienie elementu neutralnego: identyczność na \(\displaystyle{ \RR}\) jest funkcją o żądanej postaci, bo dana jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x}\), a oczywiście złożenie funkcji identycznościowej z jakąkolwiek funkcją daje tę funkcję. Teraz element odwrotny: niech \(\displaystyle{ g \in G}\). Wówczas dla pewnych \(\displaystyle{ a,b \in \RR}\) jest \(\displaystyle{ g(x)=ax+b}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Przy założeniach jak wspomniałem, \(\displaystyle{ s(x)= \frac{1}{a}x- \frac{b}{a}}\) spełnia warunki (sprawdź).
Łączność: niech \(\displaystyle{ f(x)=ax+b,}\) \(\displaystyle{ g(x)=cx+d}\), \(\displaystyle{ h(x)=ex+f}\). Działaniem jest składanie funkcji (wiesz, co to jest w ogóle?). Sprawdzasz, czy dla każdego \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistego \(\displaystyle{ f\circ(g\circ h)(x)=(f\circ g)\circ h(x)}\). Zrób to, bo nic się nie nauczysz, to najbardziej automatyczny z podpunktów, bo odpowiedzi nie trzeba wyciągać z kapelusza (z głębszym czy płytszym rondem).
Istnienie elementu neutralnego: identyczność na \(\displaystyle{ \RR}\) jest funkcją o żądanej postaci, bo dana jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x}\), a oczywiście złożenie funkcji identycznościowej z jakąkolwiek funkcją daje tę funkcję. Teraz element odwrotny: niech \(\displaystyle{ g \in G}\). Wówczas dla pewnych \(\displaystyle{ a,b \in \RR}\) jest \(\displaystyle{ g(x)=ax+b}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Przy założeniach jak wspomniałem, \(\displaystyle{ s(x)= \frac{1}{a}x- \frac{b}{a}}\) spełnia warunki (sprawdź).
Łączność: niech \(\displaystyle{ f(x)=ax+b,}\) \(\displaystyle{ g(x)=cx+d}\), \(\displaystyle{ h(x)=ex+f}\). Działaniem jest składanie funkcji (wiesz, co to jest w ogóle?). Sprawdzasz, czy dla każdego \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistego \(\displaystyle{ f\circ(g\circ h)(x)=(f\circ g)\circ h(x)}\). Zrób to, bo nic się nie nauczysz, to najbardziej automatyczny z podpunktów, bo odpowiedzi nie trzeba wyciągać z kapelusza (z głębszym czy płytszym rondem).