Rząd grupy

derm · Post autor: **derm** » 8 paź 2014, o 22:05

Mam ogromny problem z algebrą. Mam nadzieję, że ktoś pomoże. Z góry zaznaczam, że jestem trochę nie w temacie, także proszę o wyjaśnienia trochę jak dla idioty.
Ogólnie nie za bardzo mogę zrozumieć termin "rząd grupy". Ok, moc grupy. Ale czy ktoś podałby kilka przykładów grup z ich rzędem? Nie umiem sobie tego jakoś wyobrazić.
Także mam scharakteryzować wszystkie podgrupy rzędu 5 i 7.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 8 paź 2014, o 22:10

Jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to wszystkie grupy rzędu \(\displaystyle{ p}\) są izomorficzne (z \(\displaystyle{ \ZZ_p}\) - grupą addytywną modulo \(\displaystyle{ p}\)). Mówi się, że z dokładnością do izomorfizmu istnieje dokładnie jedna grupa rzędu \(\displaystyle{ p}\) i jest to grupa cykliczna. A jeśli masz charakteryzować podgrupy rzędów \(\displaystyle{ 5,7}\), to zauważ, że są one generowane przez elementy tych rzędów. Równoważnie musisz więc wyznaczyć elementy rzędów \(\displaystyle{ 5,7}\). Więc ważne jest, w jakiej grupie się to odbywa.

derm · Post autor: **derm** » 8 paź 2014, o 22:19

Niestety nadal nie rozumiem. Dopiero zaczynam temat i nie wiem, co to znaczy, że są izomorficzne z jakąś grupą, a definicje nie za bardzo mi pomagają.
Można jaśniej? ; )

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 8 paź 2014, o 22:20

Podaj dokładnie treść Twojego zadania.

derm · Post autor: **derm** » 8 paź 2014, o 22:21

Scharakteryzować wszystkie grupy rzędu 5 i 7.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 8 paź 2014, o 22:22

Ale jakiej grupy???

derm · Post autor: **derm** » 8 paź 2014, o 22:27

Nic więcej nie ma ; (
Chodzi o to, czy jest abelowa czy nie?
Możemy coś o niej założyć. Ja po prostu zupełnie nie rozumiem na czym to polega, więc wystarczy mi jakiś przykład z wyjaśnieniem.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 8 paź 2014, o 22:31

Nie doczytałem. Masz więc masz udowodnić, że wszystkie grupy rzędu \(\displaystyle{ 5}\) są izomorficzne. Musisz zrozumieć pojęcie izomorfizmu grup. Metoda: jeśli pokażesz, że w grupie rzędu \(\displaystyle{ 5}\) istnieje element rzędu \(\displaystyle{ 5}\), to on tę grupę generuje. Więc nie ma innej możliwości jak grupa izomorficzna z \(\displaystyle{ \ZZ_5}\).

derm · Post autor: **derm** » 8 paź 2014, o 22:38

Ok. Poczytałam o izomorfizmie. Ale jak sprawdzić, że grupy są izomorficzne? Nie umiem tego przełożyć na praktykę.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 8 paź 2014, o 22:40

Istnienie elementu rzędu \(\displaystyle{ 5}\) wykaż z twierdzenia Lagrange'a. A izomorfizm wykaż porównując tabelki działań w danej grupie i \(\displaystyle{ \ZZ_5}\).

derm · Post autor: **derm** » 8 paź 2014, o 22:48

Ok, dziękuję za wskazówki.
Mam jeszcze jedno zadanie, bardzo proste, chcę zapytać, czy moje uzasadnienie jest wystarczające.
1. Mam grupę abelową \(\displaystyle{ (\RR^{2}, +)}\) .
Czy zbiór \(\displaystyle{ \{x, y \in \RR: x \ge 0, y \ge 0\} \subseteq \RR^{2}}\) ?
Moja odpowiedź:
Wynik dodawania dwóch liczb ze zbioru należy do zbioru.
Elementy przeciwne nie należą do zbioru.
Element neutralny należy do zbioru.
Wniosek: Zbiór nie jest podgrupą.
Czy taka odpowiedź wystarczy czy trzeba to jakoś specjalnie wykazać?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 8 paź 2014, o 22:57

Tak. Można prościej, ale opierając się na wskazanej idei. Po prostu \(\displaystyle{ (1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (2,0)}\) leżą w tym zbiorze, a \(\displaystyle{ (1,0)-(2,0)=(-1,0)}\) nie leży. Wystarczy wskazać choć jeden kontrprzykład.

Popraw tagi kończące wzory w poprzednim poście. Ma być [/tex].

derm · Post autor: **derm** » 8 paź 2014, o 23:42

Dziękuję ; )