Wahadło matematyczne

[Johny94]

Równanie ruchu wahadła przedstawia się tak:
\(\displaystyle{ \frac{d^2\theta}{dt^2}+ \frac{g}{l} \sin\theta=0}\)

Wzór ten wynika z II Zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, jednak w liceum uczono mnie wzoru, który często stosuje się, żeby wyrazić tę zasadę, czyli na moment siły:
\(\displaystyle{ M=\varepsilon \cdot I=F \cdot l \cdot sin\alpha}\)

Aby jednak otrzymać nasze rónanie musimy tę zasadę zapisać tak:
\(\displaystyle{ \varepsilon \cdot I=-F \cdot l \cdot sin\alpha}\)

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego ten minus musimy uwzględnić lub może jest jakaś inna droga żeby pokazać początkową równość, problemem jest, że nie wiem jak zapisać II zasadę dynamiki dla wahadła.

[SidCom]

Czy widzisz na rysunku, że składowa styczna siły grawitacji jest przeciwnie skierowana do kierunku przyrostu kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)?

[Johny94]

Tak widzę i stąd wynika, że we wzorze na moment pędu muszę wstawić minus?

[SidCom]

a napisz ten wzorek...

[Johny94]

Moment siły oczywiście, przepraszam.

[siwymech]

Równanie ruchu wahadła przedstawia się tak:
\(\displaystyle{ \frac{d^2\theta}{dt^2}+ \frac{g}{l} \sin\theta=0}\)

może jest jakaś inna droga żeby pokazać początkową równość, problemem jest, że nie wiem jak zapisać II zasadę dynamiki dla wahadła.

.............................................................

AU

40881410316609273688.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 542 razy

1 Po wychyleniu o mały kąt z położenia równowagi tj z punktu O, na punkt A działają dwie siły; siła ciężkości G i reakcja nici N.
2.Wprowadzamy układ współrzednych - kierunek styczny do toru (tu przysp. styczne)- oś x i kierunek normalny oś y ( tu przysp.normalne) - i piszemy równania ruchu na te dwa przyjęte kierunki;

(1) \(\displaystyle{ m \frac{d ^{2} s}{dt ^{2} }= - mg \cdot sin \alpha}\) ,

(2) \(\displaystyle{ m \frac{v ^{2} }{\rho}=-mg \cdot cos \alpha +N}\)
3.Przyśpiesznie styczne wyrazimy ;
Droga s na łuku OA;
(3)\(\displaystyle{ s=OA=l \cdot \alpha}\)
Czyli;
(4)\(\displaystyle{ \frac{d ^{2}s }{dt ^{2} }=l \cdot \frac{d ^{2} \alpha }{dt ^{2} }}\)
Wstawiając (4) do równania (1) mamy;
(5)\(\displaystyle{ m \cdot l \cdot \frac{d ^{2} \alpha }{dt ^{2} }=- mg \cdot sin \alpha}\)
lub;
(6)\(\displaystyle{ \frac{d ^{2} \alpha }{dt ^{2} }+ \frac{g}{l} \cdot sin \alpha =0}\)
..............................
Znak przyśpieszenia(uzasd.matemat.z rzutu przyśp na styczną -x);
(7) \(\displaystyle{ a=g \cdot cos\left( 90+ \alpha \right) =-g \cdot cos\left( 90- \alpha \right)=-g \cdot sin \alpha}\)
Znak minus oznacza,że wektor a skierowany jest w lewo, gdy ciało jest po prawej stronie punktu O dla \(\displaystyle{ }\)\(\displaystyle{ \alpha >0}\), natomiast w prawo, gdy ciało jest po lewej stronie -\(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \alpha <0.}\)

-- 10 paź 2014, o 08:24 --

II sposób -wykorzystujący zasadę krętu- moment pędu wzgl.bieguna(tu punkt zamocowania nici- oznaczmy jako p.C)

1.Pochodna krętu K wzgl. czasu jest równa momentowi siły wzgl. bieguna C
(1) \(\displaystyle{ \frac{dK _{C} }{dt} = M _{C}}\)
2. Wartość kretu K;
(2) \(\displaystyle{ K _{C} =m \cdot v \cdot l=m \cdot \omega \cdot l ^{2} =m \cdot l ^{2} \cdot \dot{\alpha}}\)
(3)\(\displaystyle{ \frac{dK _{C} }{dt}=m \cdot l ^{2} \cdot \frac{d\dot{ \alpha }}{dt}=m \cdot l ^{2} \cdot \ddot{ \alpha }}\)
3. Moment siły wzgl. bieguna C;
(4)\(\displaystyle{ M _{C}=-mg \cdot l \cdot sin \alpha}\)
/Obrót zgodny z obr.wskzazówek zegara - znak minus/
Podstawiamy wyznaczone wartości do zasady krętu i otrzymujemy;
(5) \(\displaystyle{ -mg \cdot sin \alpha =m \cdot l ^{2} \cdot \ddot{ \alpha }}\)
Po przekształceniach poszukiwaną postać równania;
....................
(6)\(\displaystyle{ \ddot{ \alpha }+ \frac{g}{l} \cdot sin \alpha}\), \(\displaystyle{ }\) lub;
(6')\(\displaystyle{ \frac{d ^{2} \alpha }{dt ^{2} }+ \frac{g}{l} \cdot sin \alpha}\)
...................................................................................
Oznaczenia;
1.Droga katowa \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \alpha}\)
2.Prędkośc kątowa
\(\displaystyle{ \omega= \frac{d \alpha }{dt}=\dot{ \alpha }}\)
3.Przyśpieszenie kątowe;
\(\displaystyle{ \epsilon=\ddot{ \alpha }= \frac{d ^{2} \alpha }{dt ^{2} }}\)
4.Związek między prędkościa liniową i katową;
\(\displaystyle{ v=\omega \cdot l=l \cdot \dot{ \alpha }}\)
5.Związek między przyśp.stycznym i kątowym
\(\displaystyle{ a _{t} =\epsilon \cdot l=l \cdot \ddot{ \alpha }}\)
6. Kręt- wektor o kierunku prostopadłym do płaszcyzny wyznaczonej przez wektor \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ mv}\)\(\displaystyle{ }\) i biegun -punkt zamocowania nici. Znak ujemny -jezeli obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara.
\(\displaystyle{ K=mv \cdot l}\)
..........................................