Dowód związany z wypukłością funkcji.

dulcemaria94 · Post autor: **dulcemaria94** » 7 paź 2014, o 22:21

Mam do rozwiązania takie zadanie: Weźmy: \(\displaystyle{ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}\) , \(\displaystyle{ 1<p, q<\infty}\) , \(\displaystyle{ a, b\ge0}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}\ge a\cdot b}\).
Czy mógłby ktoś tutaj pomóc mi je zrobić?
Nie byłam pewna w jakim dziale umieścić post, gdyby był w złym to proszę o przeniesienie.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 7 paź 2014, o 22:27

To nieprawda dla \(\displaystyle{ p=q=2, a=1, b=0}\). Może źle przepisałaś?

dulcemaria94 · Post autor: **dulcemaria94** » 7 paź 2014, o 22:28

Tak, przepraszam, już poprawiam.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 7 paź 2014, o 22:44

Z wklęsłości logarytmu:

\(\displaystyle{ \ln\left(\frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}\right)\ge\ldots}\)

dulcemaria94 · Post autor: **dulcemaria94** » 7 paź 2014, o 22:50

Mogłabym prosić o nieco bardziej rozwiniętą podpowiedź? Nadal nie rozumiem...

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 7 paź 2014, o 22:53

Definicję wklęsłości funkcji na pewno znasz. Jeśli potrzebujesz wag (dwóch liczb nieujemnych, sumujących się do \(\displaystyle{ 1}\)), to znajdziesz je w treści zadania.

dulcemaria94 · Post autor: **dulcemaria94** » 7 paź 2014, o 23:10

Ok, już mam. Dziękuję bardzo!