Funkcja logrytmiczna

[oleczka90]

1. Liczba rzeczywista \(\displaystyle{ p}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ (k,k+1)}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą. Wyznacz \(\displaystyle{ k}\) jeśli
a) \(\displaystyle{ p=\log _{7}50}\)
2. Liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) należą do zbioru \(\displaystyle{ \RR_{+} \setminus \{1\}}\) Porównaj liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), jeśli wiadomo, że poniższe nierówności są prawdziwe:
a) \(\displaystyle{ \log _{a}0,75>\log _{b}0,75}\)
3. Rozwiąż nierówność liniową. Wskaż dwie liczby, całkowite, które należą do zbioru rozwiązań tej nierówności:
c) \(\displaystyle{ x\log _{ \frac{1}{3} }4<1+ 3 ^{\log _{3}2 } \cdot x}\)
Nie było mnie na lekcji i za bardzo nie wiem jak zrobić te zadania, czy ktoś mógłby udzielić jakiś wskazówek?

[kerajs]

a) \(\displaystyle{ \log _{7}49<\log _{7}50<\log _{7}343}\)
\(\displaystyle{ 2<\log _{7}50<3}\)
\(\displaystyle{ k=2}\)

2. \(\displaystyle{ \log _{a}0,75>\log _{b}0,75}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \log _{ \frac{3}{4} }0,75}{\log _{ \frac{3}{4} }a}>\frac{ \log _{ \frac{3}{4} }0,75}{\log _{ \frac{3}{4} }b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\log _{ \frac{3}{4} }a} > \frac{1}{\log _{ \frac{3}{4} }b}}\)
\(\displaystyle{ \log _{ \frac{3}{4} }a < \log _{ \frac{3}{4} }b}\)
\(\displaystyle{ a>b}\)

3. \(\displaystyle{ x\log _{ \frac{1}{3} }4<1+ 3 ^{\log _{3}2 } \cdot x}\)
\(\displaystyle{ x\log _{ \frac{1}{3} }4<1+ 2 \cdot x}\)
\(\displaystyle{ x(\log _{ \frac{1}{3} }4-2)<1}\)
Współczynnik przy x jest ujemny bo \(\displaystyle{ -2<\log _{ \frac{1}{3} }4<-1}\)
\(\displaystyle{ x> \frac{1}{\log _{ \frac{1}{3} }4-2}}\)
Liczby całkowite spełniajace nierównośćto : 0,1,2,.......

[astan]

Rozwiązanie zadania 2 podane przez kerajsa jest błędne. Z nierówności
\(\displaystyle{ \frac{1}{\log _{ \frac{3}{4} }a} > \frac{1}{\log _{ \frac{3}{4} }b}}\)
nie wynika nierówność
\(\displaystyle{ \log _{ \frac{3}{4} }a < \log _{ \frac{3}{4} }b}\)
co łatwo widać w przypadku
\(\displaystyle{ 0<a<1<b}\)

[kerajs]

Rozwiązanie zadania 2 podane przez kerajsa jest błędne. Z nierówności
\(\displaystyle{ \frac{1}{\log _{ \frac{3}{4} }a} > \frac{1}{\log _{ \frac{3}{4} }b}}\)
nie wynika nierówność
\(\displaystyle{ \log _{ \frac{3}{4} }a < \log _{ \frac{3}{4} }b}\)
co łatwo widać w przypadku
\(\displaystyle{ 0<a<1<b}\)

Istotnie, brakuje założeń z których wynikają trzy opcje:
1)
\(\displaystyle{ 0<b<a<1}\)
2)
\(\displaystyle{ 0<a<1<b}\)
3)
\(\displaystyle{ 1<b<a}\)