granice z n!

[stokrotka1992]

jak policzyc granice:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{n!}{n^n}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln (n!)}{\ln (n^n)}=}\)
(nie używając wolfram aplha)??

[miodzio1988]

polecam się zapoznać.

[stokrotka1992]

bez żartów. to jakiś bełkot znaczków. jakies kryterium d'lamberta, cauchy'ego, cos co normalny człowiek zrozumie?

-- 7 paź 2014, o 13:53 --

w sensie ta ska kryteria szeregów i czy doradzi ktoś podobne do tych ciągów?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ n!\approx \bigg(\frac{n}{e}\bigg)^n\sqrt{2\pi n}}\)

To nie jest bełkot. Bardzo fajne szacowanie.

Jeżeli chcesz to skorzystaj z kryterium d'lamberta. Jaki problem w tym jest?

[stokrotka1992]

dziwactwa mi wychodza

[miodzio1988]

pokaz jak liczysz

[stokrotka1992]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right|= \lim_{n \to \infty }\left| \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} \right| = \lim_{n \to \infty }\left| \frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} \right| = ...}\)
i bez sensu to, a przykład z logarytmem to już w ogóle

[miodzio1988]

skroc i do liczby \(\displaystyle{ e}\) to sprawdz

[stokrotka1992]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right|= \lim_{n \to \infty }\left| \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} \right| = \lim_{n \to \infty }\left| \frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} \right| =\lim_{n \to \infty } \left| ( \frac{n}{n+1} )^n\right| = \lim_{n \to \infty }\left| (1+ \frac{-1}{n+1} )^{-(n+1) \cdot \frac{-n}{n+1} }\right| = \lim_{n \to \infty } \left| e^{\frac{-n}{n+1}}\right|=...??}\)

[miodzio1988]

Kawałkami się nie przechodzi do granicy.

Jeżeli chcesz się brać za trochę trudniejsze przykłady to musisz umieć te podstawowe

Granica to \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\) tego ilorazu czyli wniosek jest jaki?

[stokrotka1992]

skąd wiadomo że \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\)? wtedy wniosek jest taki, że granica ta jest równa 0, bo \(\displaystyle{ \frac{1}{e}<1}\)

ale dla logarytmu to kryterium juz nie zadziała

[miodzio1988]

Jeżeli chcesz się brać za trochę trudniejsze przykłady to musisz umieć te podstawowe

Powtórzę

[stokrotka1992]

ja nie chcę się za nie brac, ja nie mam wyboru

[miodzio1988]

Nie wiedziałem, że studia są obowiązkowe.

Jeżeli nie masz wyboru to i nie masz wyboru, aby mieć dobrze dopracowane proste granice. Do nauki inaczej będzie bieda

[Premislav]

Nie korzystaj z równości \(\displaystyle{ \frac{1}{e}=0}\), nie wydaje się prawdziwa. Właściwie to w każdym porządnym miejscu byś dostała \(\displaystyle{ 0}\) na wstępie za częściowe przejście do granicy, więc wróćmy do tego miejsca:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left| \left( \frac{n}{n+1} \right)^n\right|=\lim_{n \to \infty } \left( \frac{n}{n+1}\right )^n}\), bo pod modułem masz dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego dodatniego liczbę dodatnią. Licznik w nawiasie zapisz jako \(\displaystyle{ n+1-1}\) i wykorzystaj fakt, że dla dow. \(\displaystyle{ x \in \RR}\)jest \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left(1+ \frac{x}{n}\right) ^{n}=\exp(x)}\).
Dowód tego faktu (zakładam dla wygody \(\displaystyle{ x \neq 0,}\) bo przypadek zerowego \(\displaystyle{ x}\) jest oczywisty, a brzydko nie pasuje do obranej drogi):
policzymy granicę logarytmu tego wyrażenia i skorzystamy z ciągłości funkcji logarytm naturalny (poniższe zachodzi dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\)).
\(\displaystyle{ \ln \left(1+ \frac{x}{n}\right) ^{n}=n \ln\left(1+ \frac{x}{n}\right)= x\frac{\ln\left(1+ \frac{x}{n}\right)}{ \frac{x}{n} }}\). Podstawiam \(\displaystyle{ \frac{x}{n}=t}\) i korzystam ze znanej granicy \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}=1}\), którą łatwo wykazać z trzech ciągów i z szacowania \(\displaystyle{ t- \frac{t ^{2} }{2} \le \ln(1+t) \le t}\) (spróbuj).
Skoro granicą logarytmu wyrażenia jest \(\displaystyle{ x}\), to granicą wyrażenia jest...
Kładąc \(\displaystyle{ x=-1}\), dostajesz to, co trzeba, teraz orzeknij, czy kryterium d'Alamberta tu rozstrzyga, wykorzystując proste wiadomości o liczbie \(\displaystyle{ e}\).