Ocen wartosc logiczna zdania.

[Totalq]

Zdanie niby proste, a sprawia problemy:

\(\displaystyle{ \bigvee_{x \in \RR} \bigwedge_{y \in \RR} \left[ \left( x ^{2} = y ^{2} \right) \wedge \left( x= -y\right) \right] \Rightarrow \left[ \left( x = 0\right) \wedge \left( y = 0\right) \right]}\)

Dla mnie to jest tak: istnieje taki \(\displaystyle{ x}\) (jakiś konkretny), że dla każdego y zachodzi....

Według odpowiedzi zdanie jest fałszywe, bo pierwszy człon jest prawdziwy. No ale przecież nie istnieje taki konkretny \(\displaystyle{ x}\), który byłby liczbą przeciwną do dowolnego \(\displaystyle{ y}\). Także coś tutaj źle rozumuję. Pomożecie?

[Premislav]

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) ta implikacja zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ y}\), więc trochę mnie dziwi, że zdanie zostało określone jako fałszywe.

Według odpowiedzi zdanie jest fałszywe, bo pierwszy człon jest prawdziwy

To nie ma sensu, chyba że inaczej rozumiem "pierwszy człon".

[Jan Kraszewski]

Źle czytasz to zdanie. Mówi ono o istnieniu \(\displaystyle{ x}\)-a takiego, że dla dowolnego \(\displaystyle{ y}\) spełniającego warunek \(\displaystyle{ \left( x ^{2} = y ^{2} \right) \wedge \left( x= -y\right)}\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ \left( x = 0\right) \wedge \left( y = 0\right)}\). Czyli kwantyfikator \(\displaystyle{ \bigwedge_{y \in \RR}}\) nie dotyczy wszystkich liczb rzeczywistych, tylko pewnych szczególnych.

Natomiast nie wiem, dlaczego to zdanie miałoby być fałszywe. Przecież takie \(\displaystyle{ x=0}\) istnieje.

JK

[Totalq]

Hmmm, co nieco zrozumiałem w tym temacie, co jednak uczynić w przypadku takiego zadania:

Mam podać przykłady funkcji zdaniowych o zakresie \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\) pokazujące,
ze poniższe zdanie nie spełnia prawa rachunku kwantyfikatorów.

\(\displaystyle{ \bigvee_{x \in \RR} \bigwedge_{y \in \RR} Q\left( x,y\right) \Rightarrow \bigwedge_{x \in \RR}\bigvee_{y \in \RR}Q\left( x,y\right).}\)

Generalnie widać tutaj kontynuacje tematu, tyle, że na innym zadaniu. Siedzę nad nim dłuższy czas, ale jakoś nie mogę tego odpowiednio rozczytać, to znaczy na tyle dobrze, że wstawić tam sensowne zdanie.

[Jan Kraszewski]

Weź formułę \(\displaystyle{ Q(x,y):=(x=0)}\) lub, jeśli martwi Cię brak igreka, to \(\displaystyle{ Q(x,y):=(x=0\land y=y)}\).

JK

[Totalq]

Ech, coś czuję, że logika nie będzie moim ulubionym przedmiotem.

Mógłby mi ktoś (jeszcze raz zresztą) wytłumaczyć z prawa rachunku kwantyfikatorów > Przeniesienie kwantyfikatora egzystencjalnego za ogólny ( nie odwrotnie ! ). Nie rozumiem dlaczego tutaj odwrotnie być nie może. Generalnie, zlewa mi się to w jedną papkę, nie mogę tego zrozumieć.

[Jan Kraszewski]

Przykład

\(\displaystyle{ \bigvee_{x \in \RR} \bigwedge_{y \in \RR} Q\left( x,y\right) \Rightarrow \bigwedge_{x \in \RR}\bigvee_{y \in \RR}Q\left( x,y\right)}\)

nie dotyczy przeniesienia kwantyfikatora egzystencjalnego za ogólny! Przeniesienie takie to

\(\displaystyle{ \bigvee_{x \in \RR} \bigwedge_{y \in \RR} Q\left( x,y\right) \Rightarrow \bigwedge_{y \in \RR}\bigvee_{x \in \RR}Q\left( x,y\right)}\)

i to akurat jest prawo rachunku kwantyfikatorów. Zauważ, że to "przeniesienie" dotyczy całego kwantyfikatora, razem ze zmienną, którą kwantyfikuje.

Twój przykład to taki "fałszywy przyjaciel", który wygląda podobnie, ale nie jest żadnym "przeniesieniem" (jak już, to raczej "odwróceniem").

JK

[Totalq]

Tak, zauważyłem to. Chyba nie doprecyzowałem, że chodzi mi już teraz o wytłumaczenie tego ,,oficjalnego" przypadku. A więc czemu tam jest tylko implikacja, a nie równoważność.

[Przemyslaw Grabowski]

\(\displaystyle{ \bigvee_{x \in \RR} \bigwedge_{y \in \RR} \left[ \left( x ^{2} = y ^{2} \right) \wedge \left( x= -y\right) \right] \Rightarrow \left[ \left( x = 0\right) \wedge \left( y = 0\right) \right]}\)

A ja się dziwię, bo od razu widzę, że jest fałszywe. Coś jest ze mną nie tak? (śmiech)
\(\displaystyle{ \bigvee_{x \in \RR} \bigwedge_{y \in \RR} \left[ \left( x ^{2} = y ^{2} \right) \wedge \left( x= -y\right) \right] \Rightarrow \left[ \left( x = 0\right) \wedge \left( y = 0\right) \right]}\)
Pierw stosuję: ,,Przeniesienie kwantyfikatora egzystencjalnego za ogólny' prosto z wikipedii to sformułownie wziąłem, bo nie byłem pewny, czy tak można. Otrzymuję:
\(\displaystyle{ \bigwedge_{y \in \RR} \bigvee_{x \in \RR} \left[ \left( x ^{2} = y ^{2} \right) \wedge \left( x= -y\right) \right] \Rightarrow \left[ \left( x = 0\right) \wedge \left( y = 0\right) \right]}\)
Co stwierdza dla każdego \(\displaystyle{ y\in \RR}\) istnieje taki \(\displaystyle{ x\in \RR}\), że ,,implikacja". Od razu widać że poprzednik implikacji jest zawsze prawdziwy, ale następnik już nie dla każdego \(\displaystyle{ y}\), więc zdanie to jest fałszywe. \(\displaystyle{ QED}\)

[Jan Kraszewski]

Przemyslaw Grabowski, nie wiem czy zauważyłeś, ale badasz prawdziwość innego zdania. Twoje "przeniesienie kwantyfikatora" nie jest równoważnością.

Totalq,

Weź formułę \(\displaystyle{ Q(x,y):=(x=0)}\) lub, jeśli martwi Cię brak igreka, to \(\displaystyle{ Q(x,y):=(x=0\land y=y)}\).

Dla takiej formuły zdanie

\(\displaystyle{ \bigvee_{x \in \RR} \bigwedge_{y \in \RR} Q\left( x,y\right) \Rightarrow \bigwedge_{x \in \RR}\bigvee_{y \in \RR}Q\left( x,y\right).}\)

jest fałszywe.

JK

[Przemyslaw Grabowski]

Acha, to za szybko do tego podszedłem i nie zauważyłem, że tam jest implikacja, a nie równoważność. (ale ja jestem głupiiii, jak się będę uczył tych praw kiedyś to się przyłożę, a tak to tylko się wygłupiłem...)
Dziękuję za ukazanie mojego błędu.
Życzę miłego dnia.