[Analiza] Udowodnić nierówność

[czekoladowy]

Niech \(\displaystyle{ f:[1,+ infty )
ightarrow left( 0,+ infty
ight)}\) będzie funkcją ciągłą.
Zakładamy, że \(\displaystyle{ \int_{1}^{x} f(t)dt \le f^2(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \ge 1}\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ f(x) \ge \frac{1}{2} (x-1)}\)

[Msciwoj]

Dziwne zadanie. \(\displaystyle{ f(x)=0}\) spełnia warunki, a nie spełnia tezy. Nawet jeżeli uprzemy się, że przedział \(\displaystyle{ (0, +\infty)}\) to obraz dziedziny, a nie po prostu przeciwdziedzina (chociaż powinno być wtedy napisane, że funkcja jest na, ale ok), to ponieważ jak łatwo zauważyć, \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2}(x-1)}\) spełnia warunki zadania z równością, możemy tę funkcję przesunąć choćby o 1 do przodu, tworząc taką funkcję:
\(\displaystyle{ g(x) = \begin{cases} 0 &\text{dla } x \le 2 \\ f(x-1) &\text{dla } x \ge 2 \end{cases}}\), to oczywiście spełnia ona warunki zadania, gdyż dla \(\displaystyle{ x>2}\) mamy

\(\displaystyle{ \int_{1}^{x} g(t)dt = \int_{2}^{x} g(x)dt = \int_{1}^{x-1} f(t)dt \le f^2(x-1) = g^2(x)}\)
A wcześniej wiadomo, zera po obu stronach.

Przy czym oczywiście teza dla funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\) nie zachodzi.

[bartek118]

Dziwne zadanie. \(\displaystyle{ f(x)=0}\) spełnia warunki, a nie spełnia tezy. Nawet jeżeli uprzemy się, że przedział \(\displaystyle{ (0, +\infty)}\) to obraz dziedziny, a nie po prostu przeciwdziedzina (chociaż powinno być wtedy napisane, że funkcja jest na, ale ok), to ponieważ jak łatwo zauważyć, \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2}(x-1)}\) spełnia warunki zadania z równością, możemy tę funkcję przesunąć choćby o 1 do przodu, tworząc taką funkcję:
\(\displaystyle{ g(x) = \begin{cases} 0 &\text{dla } x \le 2 \\ f(x-1) &\text{dla } x \ge 2 \end{cases}}\), to oczywiście spełnia ona warunki zadania, gdyż dla \(\displaystyle{ x>2}\) mamy

\(\displaystyle{ \int_{1}^{x} g(t)dt = \int_{2}^{x} g(x)dt = \int_{1}^{x-1} f(t)dt \le f^2(x-1) = g^2(x)}\)
A wcześniej wiadomo, zera po obu stronach.

Przy czym oczywiście teza dla funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\) nie zachodzi.

Przecież zero nie może być wartością funkcji, zatem obydwa podane powyżej przykłady są błędne.

[kicaj]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ A}\) punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (1,0),}\) przez \(\displaystyle{ B}\) punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (3,1)}\) oraz przez \(\displaystyle{ C(x)}\) punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (x,f(x)).}\) Niech \(\displaystyle{ g(x)}\) będzie funkcją przyporządkowującą liczbie \(\displaystyle{ x}\) miarę kąta \(\displaystyle{ BAC(x)}\) przy czym miarę tą bierzemy ze znakiem minus jeżeli \(\displaystyle{ f(x)>\frac{1}{2} (x-1).}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ g}\) jest ciągła i przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ tin [1,infty )}\) mamy \(\displaystyle{ f(t)<\frac{1}{2} (t-1).}\) Niech \(\displaystyle{ t_0\in [1,t]}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ g(t_0)=\sup_{v\in [1,t]} g(v).}\) Wówczas \(\displaystyle{ f(t_0 )<\frac{1}{2} (t_0 -1)}\) oraz \(\displaystyle{ f(t_0 )^2 \geq \int_1^{t_0} f(x) dx \geq P_{\triangle C(t_0) A (t_0,0)} =\frac{1}{2} f(t_0 )(t_0 -1 ).}\) Sprzeczność.