całka wymierna nieoznaczona

[dora1255]

Mógłby mi ktoś pomóc w rozwiązaniu tej całki, ponieważ nie mam już pomysłu jak to rozwiązać, będę wdzięczna za pomoc
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx}\)

[Jelon]

musisz zastosować rozkład na tzw. ułamki proste. Masz pomysł jak on tutaj będzie wyglądać?

[dora1255]

robiłam rozkład na ułamki proste i dochodziłam do punktu wyjścia, wyszedł jeden ułamek, dokładnie ten, który jest w tej całce

[Jelon]

zaraz policzę sam, ale wydaje mi się, że powinno zadziałać.

ułamki powinny wyglądać:
\(\displaystyle{ \frac{Ax+b}{x^{2}+2x+2} + \frac{Cx+D}{(x^{2}+2x+2)^{2}}}\)

w sumie to możliwe, w takim razie nie wiem czy przez części coś nie podziałać może i wyprowadzać wzór rekurencyjny na całkę postaci \(\displaystyle{ \int \frac{1}{(x^{2} + 1)^{2}}dx}\)

ale spróbuję policzyć coś ;d

albo może spróbować doprowadzić do pochodnej mianownika w liczniku? teżmogłoby podziałać


próbując tym ostatnim sposobem mam:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(\int \frac{2x+2}{(x^2+2x+2)^{2}}dx - \int \frac{2dx}{(x^2+2x+2)^{2}})}\)

tę pierwszą łatwo rozwiązać podstawiając za mianownik \(\displaystyle{ t = x^{2} +2x + 2}\) a tę drugą spróbuję postać kanoniczną i doprowadzić do całki \(\displaystyle{ \int \frac{1}{(x^{2} + 1)^{2}}dx}\) coś tym stylu


uda się doprowadzić do takiej całki robiąc postać kanoniczną. Wiesz jak z taką całką zadziałać? musisz policzyć przez części licząc całkę z 1

[dora1255]

z doprowadzaniem do pochodnej w liczniku próbowałam i chyba nie wychodziło mi coś dalej
przez części też robiłam i nic.
dzięki za każdą pomoc

-- 19 wrz 2014, o 13:49 --

a jak doprowadzić do tej całki \(\displaystyle{ \int \frac{1}{(x^2+1)^2} dx}\)

-- 19 wrz 2014, o 13:55 --

już wiem jak doprowadzić a można liczyć przez części licząc pochodną z 1? Jakoś nie wychodzi mi licząc całkę z 1 ;/

[Jelon]

gdzie mam różnicę całek to w tej 2 zwinąć do postaci kanonicznej f. kwadratowa i będziemy mieć w mianowniku \(\displaystyle{ ((x+1)^{2} + 1)^{2}}\) i tutaj podstawienem u = x+1 doprowadzimy do takiej całki


jak policzysz pochodną z 1 to wyjdzie 0, a to nie ma sensu chyba za bardzo. TUtaj trzeba dojść do wzoru rekurencyjnego, w fichntenholzu jest to wyprowadzone. Chyba nawetw krysickim włodarskim wzór jest podany, ale nie jest on wyprowadzony chyba

[M Ciesielski]

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{(x^2+2x+2)^2} dx - \int \frac{dx}{(x^2+2x+2)^2}dx = -\frac{1}{2(x^2+2x+2)} - \int \frac{dx}{((x+1)^2+1)^2}}\)
Zajmiemy się tą ostatnią całką:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{((x+1)^2+1)^2} = \left| \begin{array}\ x+1=t \\ dx=dt \end{array} \right| = \int \frac{dt}{(t^2+1)^2} = \int \frac{t^2+1-t^2}{(t^2+1)^2} dt = \arc\tg t - \int \frac{t^2}{(t^2+1)^2} dt = \left| \begin{array} \ u=t \qquad dv = \frac{tdt}{(t^2+1)^2} \\ du=dt \qquad v=-\frac{1}{2} \frac{1}{t^2+1} \end{array} \right| = \arc\tg t +\frac{t}{2(t^2+1)}- \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t^2+1}= \arc\tg t +\frac{t}{2(t^2+1)} - \frac{1}{2} \arc\tg t +C = \frac{1}{2} \arc\tg t +\frac{t}{2(t^2+1)}+C}\)

Wracamy do podstawienia i dostajemy

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx = -\frac{1}{2(x^2+2x+2)} - \frac{1}{2} \arc\tg (x+1) - \frac{x+1}{2(x^2+2x+2)} + C = -\frac{x+2}{2(x^2+2x+2)} - \frac{1}{2} \arc\tg (x+1) + C}\)

Może się nie walnąłem, jeżeli coś to w przepisywaniu, więc jeszcze prześledź dokładnie.

[dora1255]

Wielkie dzięki chłopaki

-- 19 wrz 2014, o 14:34 --

Tam w ostatecznym wyniku w pierwszym składniku nie będzie \(\displaystyle{ -\frac{x+2}{2(x^2+2x+2)}}\) ?

[M Ciesielski]

Będzie, już poprawiam. Dojdzie też minus przed tym ułamkiem.

Jeszcze dopowiem:

a można liczyć przez części licząc pochodną z 1?

A z czego potem będziesz musiała liczyć całkę? To w pamięci można zrobić. Dokładnie z funkcji podcałkowej oczywiście twierdzenie o całkowaniu przez części zadziała, no ale to szkoda atramentu...

[Mariusz M]

musisz zastosować rozkład na tzw. ułamki proste. Masz pomysł jak on tutaj będzie wyglądać?

To już jest całka z ułamka prostego

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx=\frac{a_{1}x+a_{0}}{x^2+2x+2}+\int{\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+2x+2} \mbox{d}x }\\
\frac{x}{\left( x^2+2x+2\right) }=\frac{a_{1}\left( x^2+2x+2\right)-\left( 2x+2\right)\left( a_{1}x+a_{0}\right) }{\left( x^2+2x+2\right)^2 }+\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+2x+2}\\
x=a_{1}\left( x^2+2x+2\right)-\left( 2x+2\right)\left( a_{1}x+a_{0}\right)+\left(b_{1}x+b_{0} \right)\left( x^2+2x+2\right)\\
x=a_{1}x^2+2a_{1}x +2a_{1}-2a_{1}x^2-2a_{0}x-2a_{1}x-2a_{0}+b_{1}x^3+2b_{1}x^2+2b_{1}x+b_{0}x^2+2b_{0}x+2b_{0}\\
x=b_{1}x^3+\left( 2b_{1}+b_{0}-a_{1}\right)x^2+\left(2b_{1}+2b_{0}-2a_{0}\right)x+2b_{0}+2a_{1}-2a_{0}\\
\begin{cases} b_{1}=0 \\ b_{0}=a_{1} \\2a_{1}-2a_{0}=1\\4a_{1}-2a_{0}=0\end{cases} \\
\begin{cases} b_{1}=0 \\ b_{0}=a_{1}\\a_{0}=2a_{1}\\-2a_{1}=1 \end{cases} \\
\begin{cases} a_{1}=-\frac{1}{2} \\ a_{0}=-1\\b_{1}=0\\b_{0}=-\frac{1}{2} \end{cases} \\
\int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx=-\frac{1}{2} \cdot \frac{x+2}{x^2+2x+2}-\frac{1}{2}\int{\frac{ \mbox{d}x }{x^2+2x+2}}\\
\int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx=-\frac{1}{2} \cdot \frac{x+2}{x^2+2x+2}-\frac{1}{2}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{1+\left( x+1\right)^2 } }\\
\int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx=-\frac{1}{2} \cdot \frac{x+2}{x^2+2x+2}-\frac{1}{2}\arctan{\left( x+1\right) }+C\\}\)