Egzamin z Analizy Matematycznej

[Elchickeno]

Witam potrzebuje rozwiązania egzaminu z analizy matematycznej nie potrafię zrobić tego w pojedynkę więc proszę o pomoc(egzamin mam pojutrze) Będę bardzo wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu /rozwiązanie/ wytłumaczenie któregokolwiek z zadań
Ktoś dosłownie uratuje mi tyłek i zaoszczędzi dużo nerwów, czasu i być może pieniędzy, z resztą nie tylko mnie
Zad 1
Niech f(z) będzie funkcja analityczną w obszarze \(\displaystyle{ $\Omega$&}\) położoną na płaszczyźnie zespolonej C i niech r będzie krzywą Jordana leżącą w tym obszarze

\(\displaystyle{ \oint _{r} f \leftf( \right z) \mbox{d}z = 0}\)

Zad 2
Wykorzystując warunki Cauchy'ego-Riemanna znaleźć funkcję holomorficzną
\(\displaystyle{ f \leftf( \right z)=u\leftf( \right x,y) + iv\leftf( \right x,y)}\)
dla której \(\displaystyle{ \Re f\lefft( \right z) =e ^{x}\cos$y&+x-1}\) oraz \(\displaystyle{ f\leftf( \right0)=1}\)

Zad 3
Wykorzystując twierdzenie o residuach obliczyć
\(\displaystyle{ \oint _{|z|=3} \frac{e ^{z} }{(z-2)(z-1) ^{3} } \mbox{d}z}\)
gdzie \(\displaystyle{ {z \in$& C : |z| =3}}\) jest okręgiem zorientowanym dodatnio
Zad 4 Obliczyć całkę
\(\displaystyle{ \oint _{ \partial T} \Im z \mbox{d}z}\)
gdzie\(\displaystyle{ \partial T}\) jest zorientowanym dodatnio brzegiem figury
\(\displaystyle{ T = {z\in$& C : 0 \le\Im z \le 1 - \Re z, 0, \le \Re z \le 1}}\)
Zad 5
Korzystając z transformaty Laplace'a rozwiązać następujące zagadnienie Cauchy'ego
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{''}\leftf( \right t) - x ^{'}(t) -2x\leftf( \right t) =1 \\ x\leftf( \right 0)=1,x ^{'} \leftf( \right 0)=0 \end{cases}}\)
Wykorzystać własność przekształcenia Laplace'a: \(\displaystyle{ L\leftf[ \right 1]\leftf ( \right s)= \frac{1}{s}}\)
Jeśli ktoś mógłby mi pomóc bardzo byłbym wdzięczny z pewnością mogę się odwdzięczyć

[miodzio1988]

Jakie są dokladnie problemy? Konkretnie

[Elchickeno]

\(\displaystyle{ \oint _{r} f \leftf( \right z) \mbox{d}z = 0}\)
No np w Tym pierwszym zadaniu wiem że chyba powinno być

\(\displaystyle{ \int f\leftf( \right z) \mbox{d}z = \int u(P) \mbox{d}x-\int v\leftf( \right Q) \mbox{d}y + i \int
v\left ( \right P) \mbox{d}x + \int u\leftf( \right Q) \mbox{d}y}\)
Ale nie wiem jak dalej jechać itp

[Pijarek]

5)
\(\displaystyle{ x ^{''}\leftf( \right t) - x ^{'}(t) -2x\leftf( \right t) =1}\)
\(\displaystyle{ (s^2 \cdot L(x)-s \cdot x(0)-x ^{'}(0) ) -(s \cdot L(x)-x (0) )-2 \frac{1}{s^2} = \frac{1}{s}}\)
\(\displaystyle{ (s^2 \cdot L(x)-s \cdot 1-0)-(s \cdot L(x)-1))-2 \frac{1}{s^2} = \frac{1}{s}}\)
\(\displaystyle{ L(x)(s^2-s)= \frac{1}{s} + \frac{2}{s^2}+s-1}\)
\(\displaystyle{ L(x)s(s-1)= \frac{s+2+s^3-s^2}{s^2}}\)
\(\displaystyle{ L(x)= \frac{s^3-s^2+s+2}{(s-1)s^3}}\)
teraz rozkład prawej strony na ułamki proste i transformata odwrotna lub dwa residua (dla s=0 i dla s=1)

[miodzio1988]

Pijarek, nie jest poprawnie.

Druga linijka :

\(\displaystyle{ -2 \frac{1}{s^2}}\)

skąd ten wyraz niby?

-- 15 września 2014, 11:10 --

Rozumiem, że miś nie widzi różnicy między \(\displaystyle{ t}\), a \(\displaystyle{ x(t)}\). Wypisuj dalej misiu takie bzdury-- 15 września 2014, 11:11 --Pijarek, nieładnie jest tak usuwać posty

[Pijarek]

Z pospiechu misiu , powinno być
\(\displaystyle{ (s^2 \cdot L(x)-s \cdot 1-0)-(s \cdot L(x)-1))-2 L(x) = \frac{1}{s}}\)

Dalej podobnie jak wcześniej.

Teraz OK ?

[miodzio1988]

Z pospiechu, powinno być
\(\displaystyle{ (s^2 \cdot L(x)-s \cdot 1-0)-(s \cdot L(x)-1))-2 L(s) = \frac{1}{s}}\)

To mamy funkcje \(\displaystyle{ L(x)}\) i \(\displaystyle{ L(s)}\) teraz ?-- 15 września 2014, 11:14 --

Teraz OK ?

Nie.

\(\displaystyle{ L(x)= \frac{s^3-s^2+s+2}{(s-1)s^3}}\)

Wtedy mamy funkcję stała tutaj