[Trygonometria] Suma kosinusów (wersja trudniejsza)

[Pijarek]

Czy zachodzi (a jeśli tak to jak to udowodnić) równość dla każdego dodatniego naturalnego k?
\(\displaystyle{ 2 \sum_{i=1}^{k} \cos \frac{ i \cdot 2 \pi }{2k+1}=-1}\)

[kicaj]

Skorzystaj z tego, że suma wszystkich, zespolonych pierwiastków stopnia \(\displaystyle{ 2k+1}\) z jedynki, wynosi zero.

[Pijarek]

To właśnie z sumy pirwiastków liczby zespolonej wyszła mi ta równość. Dla pierwiastków stopnia parzystego jest to banalne do udowodnienia, ale jak to udowodnić tę sumę dla pierwiastków stopnia nieparzystego.

[kicaj]

Niech \(\displaystyle{ \varepsilon_j =\cos \left( \frac{2j\pi}{2k+1}\right) +i\sin \left( \frac{2j\pi}{2k+1}\right).}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ \varepsilon_j +\varepsilon_{2k+1 -j} =2\cos \left( \frac{2j\pi}{2k+1}\right)}\) dla \(\displaystyle{ j=1,2...,k.}\)

[Ponewor]

Skorzystaj z tego, że te pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej odpowiadają wierzchołkom odpowiedniego wielokąta foremnego.

Ukryta treść:    

gdzie jest jego środek ciężkości?

EDIT
Trzecia zgrabna metoda, to skorzystanie z wzoru de Moivra i ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.