zwartość => ograniczoność

[elodymek]

Witam, wiem, że pewnie większość z was powie, to oczywiste, ale dla mnie nie, więc pytanie jest takie:
Operator liniowy \(\displaystyle{ T\colon\mathbb{H}\to\mathbb{H}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{H}}\) jest przestrzenią Hilberta, jest zwarty, jeżeli obraz \(\displaystyle{ T(B_{\mathbb{H}})}\) kuli jednostkowej otwartej w \(\displaystyle{ \mathbb{H}}\) jest względnie zwarty, czyli posiada zwarte domknięcie.
W jaki sposób, korzystając z powyższej definicji, pokazuje się, że operator liniowy zwarty jest ograniczony?

P.S. Wiem, że w przestrzeniach metrycznych zwartość implikuje domkniętość i ograniczoność, ale chodzi mi o szczegóły rozumowania.

[szw1710]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \|T\|=\sup\{\|Tx\|:x\in B_{\mathbb{H}}\}}\).

[elodymek]

Jasne, ale czy normy nie określamy dla operatorów ograniczonych? Zatem musimy wiedzieć, że \(\displaystyle{ T}\) jest ograniczony, ale to właśnie chcemy pokazać. Z drugiej strony norma to nic innego jak supremum... wydaje mi się, że mam problem z tym, czy dostajemy ograniczoność od razu na całej przestrzeni, czy tylko na tej kuli? Może przedstawię swoje rozumowanie. Skoro \(\displaystyle{ T}\) jest zwarty, to \(\displaystyle{ \mathnormal{cl}\;\!T(B_{\mathbb{H}})}\) jest zbiorem zwartym w \(\displaystyle{ \mathbb{H}}\). Skoro tak, to \(\displaystyle{ T(B_{\mathbb{H}})}\) jest ograniczony, więc istnieje stała \(\displaystyle{ c>0}\) taka, że \(\displaystyle{ T(B_{\mathbb{H}})\subseteq \overline{B}_{\mathbb{H}}(0,c)=\{y\in\mathbb{H}:\lVert y\rVert \leqslant c\}}\). To znaczy, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in B_{\mathbb{H}}}\)mamy nierówność\(\displaystyle{ \lVert Tx\rVert \leqslant c}\). No tak, i teraz bierzemy supremum z norm \(\displaystyle{ \lVert Tx\rVert}\) na kuli otwartej, czy to jest to samo co supremum na kuli domkniętej?

[szw1710]

Owszem, samą normę zapisałem na wyrost. Jakie wobec tego (wobec zwartości operatora) jest to supremum? Oczywiście będziesz miał jako produkt uboczny dowód istnienia normy

Z tą ograniczonością jest łatwo. Z ograniczoności na kuli i liniowości masz ograniczoność na całej przestrzeni.

-- 14 wrz 2014, o 21:34 --

Dobrze rozumujesz (Twoja edycja poprzedniego posta). Więc wiadomo, że \(\displaystyle{ \|Tx\|\le c}\) na kuli jednostkowej. Teraz weź \(\displaystyle{ 0\ne x\in\mathbb{H}}\). Co wiemy o wektorze \(\displaystyle{ \frac{x}{\|x\|}}\)?

Szczegóły rozumowania zapisuj w osobnych postach - to jest czytelniejsze dla innych. Nie tylko Ty czytasz ten wątek.

-- 14 wrz 2014, o 21:45 --

No tak, i teraz bierzemy supremum z norm \(\displaystyle{ \lVert Tx\rVert}\) na kuli otwartej, czy to jest to samo co supremum na kuli domkniętej?

Wystarczy wiedzieć, że skoro domknięcie jest ograniczone, to i kula też. Przestań edytować, napisz nowego posta. Traci się czytelność i sekwencyjność.

[elodymek]

OK, więc idąc dalej, \(\displaystyle{ \sup_{x\neq 0}\frac{\lVert Tx\rVert}{\lVert x\rVert}=\sup_{x\neq 0}\left\lVert T\left(\frac{x}{\lVert x\rVert}\right)\right\rVert=\sup_{\Vert u\rVert=1}\lVert Tu\rVert \leqslant\sup_{\lVert u\rVert\leqslant 1}\lVert Tu\rVert\leqslant c}\), więc czy to będzie już to?

[szw1710]

Zapisałbym to nieco inaczej. Mamy po prostu \(\displaystyle{ \|Tx\|\le c\|x\|}\), a to jest definicja operatora ograniczonego. Nieprawdaż?

[elodymek]

Tak, dokładnie tyle wynika z ciągu nierówności, który zapisałem, z tym się zgadzam, mamy już koniec. Nie rozumiem tylko tego:

Wystarczy wiedzieć, że skoro domknięcie jest ograniczone, to i kula też.

Wiem o tym, ale nie wiem w jaki sposób to ma tłumaczyć, że supremum na kuli domkniętej też mozna ograniczyć przez stałą \(\displaystyle{ c}\), tak jak na kuli otwartej, co w 100% rozumiem. Możesz to rozjasnić?

Właściwie to gdybym w definicji wziął kulę jednostkową domkniętą, zamiast otwartej, to wszystko byłoby dla mnie już jasne, ale nie o to chodzi, teraz muszę wiedzieć, jak jest w przypadku kuli otwartej, bo takie definicje operatora zwartego są przecież równoważne.

[szw1710]

Chodzi mi o to, że nie musimy niczego wiedzieć o samej wartości supremum. Trzeba nam tylko tego, że jest skończone. Możemy być nieco rozrzutni. A więc bierzemy kulę jednostkową, dochodzimy do ograniczoności przez zwartość domknięcia jej obrazu. A stałą \(\displaystyle{ c}\) masz właśnie na tym domknięciu.

[elodymek]

No zgadzam się, ale to co mnie gryzie, to pytanie czy stała \(\displaystyle{ c}\) funkcjonuje poprawnie jeśli weżmiemy supremum na kuli domkniętej, choć do tej pory rozważaliśmy otwartą i stała \(\displaystyle{ c}\) była właśnie dla tej kuli otwartej, innymi słowy, czy

\(\displaystyle{ \sup_{\lVert u\rVert<1}\lVert Tu\rVert=\sup_{\lVert u\rVert\leqslant 1}\lVert Tu\rVert}\)?

[szw1710]

Podejdź do \(\displaystyle{ x}\) leżącego w kuli domkniętej ciągiem elementów kuli otwartej. Dostajesz to samo ograniczenie na kuli domkniętej.

[elodymek]

No dobrze, wiem, że tak będzie, muszę sobie to tylko jakoś rozsądnie zapisać, żeby to widzieć. Dziękuję za pomoc.

[szw1710]

O to chodzi. Zapiszesz sobie, będziesz wiedział Ważne, że rozumiesz żargon i dobrze poruszasz się w terminologii. To ważne. Dobrej nocy.

[elodymek]

Podaję poprawne rozumowanie, że operator liniowy zwarty jest ograniczony.

Korzystam z następującej definicji operatora zwartego:
Operator liniowy \(\displaystyle{ T\colon\mathbb{H}\to\mathbb{H}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{H}}\) jest przestrzenią Hilberta, jest zwarty, jeżeli obraz \(\displaystyle{ T(B_{\mathbb{H}})}\) kuli jednostkowej otwartej \(\displaystyle{ \left(B_{\mathbb{H}}=\{x\in\mathbb{H}:\lVert x\rVert<1\}\right)}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{H}}\) jest względnie zwarty, czyli posiada zwarte domknięcie.

Niech \(\displaystyle{ T\colon\mathbb{H}\to\mathbb{H}}\) będzie operatorem liniowym zwartym. Wówczas zbiór \(\displaystyle{ \mathrm{cl}\;\!T\left(B_{\mathbb{H}}\right)}\) jest zwarty w \(\displaystyle{ \mathbb{H}}\) (jako przeciwdziedzina), a zatem ograniczony. Wynika stąd, że istnieje stała \(\displaystyle{ c>0}\) taka, że \(\displaystyle{ \mathrm{cl}\;\!T\left(B_{\mathbb{H}}\right)\subseteq B_{\mathbb{H}}(0,c)=\{y\in\mathbb{H}:\lVert y\rVert< c\}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ T\left(B_{\mathbb{H}}\right)\subseteq\mathrm{cl}\;\!T\left(B_{\mathbb{H}}\right)\subseteq B_{\mathbb{H}}(0,c)\subseteq\mathrm{cl}\;\! B_{\mathbb{H}}(0,c)}\), to dla każdego \(\displaystyle{ y\in T\left(B_{\mathbb{H}}\right)}\) mamy nierówność \(\displaystyle{ \lVert y\rVert\leqslant c}\). Ale \(\displaystyle{ y\in T\left(B_{\mathbb{H}}\right)}\) są postaci \(\displaystyle{ y=Tx}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in B_{\mathbb{H}}}\). Zatem dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in B_{\mathbb{H}}}\) mamy \(\displaystyle{ \lVert Tx\rVert\leqslant c}\). Weźmy teraz dowolny \(\displaystyle{ x\in\mathbb{H}}\) taki, że \(\displaystyle{ x\neq 0}\). Rozważmy element \(\displaystyle{ \frac{x}{\alpha\lVert x\rVert}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{C}}\) i \(\displaystyle{ \lvert\alpha\rvert>1}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ \left\lVert\frac{x}{\alpha\lVert x\rVert}\right\rVert=\frac{1}{\lvert\alpha\rvert}<1}\), a zatem\(\displaystyle{ \frac{\lVert Tx\rVert}{\lvert\alpha\rvert\lVert x\rVert}=\left\lVert T\left(\frac{x}{\alpha\lVert x\rVert}\right)\right\rVert\leqslant c}\). Stąd otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \lVert Tx\rVert\leqslant c\lvert\alpha\rvert\lVert x\rVert}\), dla każdego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{H}}\), zatem zwarty operator liniowy \(\displaystyle{ T}\) jest ograniczony.

I rzeczywiście, Panie szw1710, z liniowości dostajemy ograniczoność na całej przestrzeni, poza tym nie trzeba wcale odwoływać się do normy operatora poprzez branie supremum

[szw1710]

Ładnie zrobiłeś ten krok ze skalarem \(\displaystyle{ \alpha}\). Widać stąd, że Twoje rozumowanie jest dobre zarówno w przestrzeni rzeczywistej, jak i zespolonej.