Oblicz objętość bryły

[kkalwa]

Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań.

Oblicz objętość bryły:

1. Wyznaczonej przez paraboloidę \(\displaystyle{ x^{2} +y^{2}= z}\) i płaszczyznę \(\displaystyle{ z=2y}\)
2. Wyznaczonej przez walec \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2}=2x}\) i paraboloidę \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=3z}\)

[Paulina-Anna]

1)
Rzutując to przecięcie na oś \(\displaystyle{ xy}\), dostajemy równanie \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 2y}\), czyli \(\displaystyle{ x^2 + (y-1)^2 = 1}\), czyli jest to okrąg.

Granice całkowania:

wewnętrze \(\displaystyle{ z}\) idzie od \(\displaystyle{ x^2+y^2}\) do \(\displaystyle{ 2y}\) - wystarczy narysować w układzie \(\displaystyle{ yz}\) wykres \(\displaystyle{ z=2y}\) i \(\displaystyle{ z=y^2}\) i widać, że płaszczyzna jest nad parabolą

środkowe \(\displaystyle{ r}\): od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2 \sin \phi}\)

zewnętrzne \(\displaystyle{ \phi}\) od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \pi}\)


Przechodzimy na współrzędne walcowe:

\(\displaystyle{ x=r \cos \phi, y = r \sin \phi, z=z}\)

Jakobian przekształcenia \(\displaystyle{ [x,y,z]}\) na \(\displaystyle{ [r \cos \phi, r\sin \phi, z]}\) to \(\displaystyle{ r}\).

Czyli \(\displaystyle{ z}\) ma granice od \(\displaystyle{ r^2}\) do \(\displaystyle{ 2 r \sin \phi}\)

Teraz liczymy całkę:

\(\displaystyle{ V = \int _0 ^{\pi} \int _0 ^{2 \sin \phi} \int _{r^2} ^{2r \sin \phi} r dz dr d \phi = \frac{\pi}{2}}\)

Polecam podręcznik Krysickiego i Włodarskiego.

[kkalwa]

Czyli żeby to obliczyć muszę skorzystać z całki potrójnej? Przepraszam, jeśli pytanie jest głupie.

[Paulina-Anna]

Tak, tak.

Długości - 1 wymiar, 1 zmienna - całka pojedyncza

Powierzchnia - 2- wymiarowa, 2 zmienne - całka podwójna

Wreszcie objętość - 3- wymiarowa, 3 zmienne - całka potrójna

Zajrzyj do Krysickiego-Włodarskiego tom drugi

[kkalwa]

I nie ma żadnego sposobu żeby obliczyć to korzystając z całki podwójnej? Pytam, bo to zadanie jest w podręczniku w sekcji "Całka podwójna" i nie wiem czy gdy trafi się na kolokwium to będę to mógł obliczyć w ten sposób.

[jarek4700]

Objętość też się da policzyć całką podwójną podobnie jak pole pojedynczą. Trzeba wtedy całkować funkcję po obszarze na płaszczyźnie \(\displaystyle{ OXY}\).

[Paulina-Anna]

Poczytaj tutaj:

Kod: Zaznacz cały

http://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/am/scb/index112.html

249210.htm

280197.htm

[kkalwa]

No dobrze:

Najpierw wyznaczam rzut tej figury na płaszczyznę XY i otrzymuję równanie takie jak Paulina-Anna:
\(\displaystyle{ x^2 + (y-1)^2 = 1\\}\)
A więc tym rzutem jest okrąg o promieniu 1 i przesunięty na tej płaszczyźnie o 1 w górę.

Teraz wyznaczam granice całkowania. Już po zamianie zmiennych wydaje mi się, że powinno to wyglądać tak:

\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2\sin\phi}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \phi \le \pi/2}\)

I co teraz? Mam teraz scalkować najpierw to \(\displaystyle{ 2y}\) a później \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2}}\) i odjąć to od siebie?

[jarek4700]

Dobrze poza tym że \(\displaystyle{ 0 \le \phi \le \pi}\)

[kkalwa]

Czy jeszcze mógłbym prosić o pomoc w zadaniu:

Oblicz objętość bryły ograniczonej przez walec \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} =4}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ x+z=2}\), \(\displaystyle{ y-z=2}\).

Nie wiem jak wyznaczyć obszar całkowania w tym przypadku i jak znaleźć wyrażenie, które mam scałkować.

[Paulina-Anna]

Spróbuj to narysować.

Dostaniesz dwie identyczne bryły.

[kkalwa]

Nie wiem czy jest to dobrze narysowane ale wynika z tego, że obszarem całkowania jest rzut walca na płaszczyznę, zgadza się? Teraz żeby uzyskać wyrażenie, które będe całkował przyrównuję do siebie równania płaszczyzn?

Czy tak?

\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2\\0 \le \phi \le 2\pi}\)

I teraz liczę całkę z pierwszego równania płaszczyzny, którą potem mnożę razy 2? Odpowiedź niby wyszła mi dobra.

[Paulina-Anna]

Wydaje mi się, że tak. Te płaszczyzny przecinają się prostopadle i po bokach walca dostajemy z tego przecięcie dwie takie same figury.

Wychodzi \(\displaystyle{ \int_0 ^{2 \pi} \int_0 ^2 r dr d \phi = 8 \pi}\) ?

[miodzio1988]

Wydaje mi się, że tak. Te płaszczyzny przecinają się prostopadle i po bokach walca dostajemy z tego przecięcie dwie takie same figury.

Wychodzi \(\displaystyle{ \int_0 ^{2 \pi} \int_0 ^2 r dr d \phi = 8 \pi}\) ?

\(\displaystyle{ \int_0 ^{2 \pi} \int_0 ^2 r dr d \phi = 4 \pi}\)

[Paulina-Anna]

@miodzio1988

Rzeczywiście

Miałam na myśli wynik końcowy, a wpisałam go przy całce.

Obliczenia są dobre? Tzn. obliczenie objętości sprowadza się do obliczenia całki o tych granicach?