Jak ograniczyć obszar?

[Kubaniec]

Witam, mam problem przy liczeniu całki potrójnej. Otóż mam obszar ograniczony:
\(\displaystyle{ x=0}\) czyli płaszczyzna \(\displaystyle{ zy}\)
\(\displaystyle{ y=0}\) czyli płaszczyzna \(\displaystyle{ xz}\)
\(\displaystyle{ z=2}\) czyli płaszczyzna \(\displaystyle{ xy}\) przesunięta o \(\displaystyle{ 2}\) w górę
\(\displaystyle{ z= \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }}\)

Z ostatniego równania wychodzi mi taki jakby lejek, fachowo to chyba się na to mówi paraboloida. Jest on od góry ograniczony płaszczyzną \(\displaystyle{ z=2}\) i z tego wszystkeigo bierzemy tylko jego jedną ćwiartkę(ze względu na ograniczenie płąszczyznami \(\displaystyle{ zx}\) \(\displaystyle{ zy}\)). Nie wiem jak się zmieniają \(\displaystyle{ x, y, z}\).
Widzę ten rysunek w głowie, narysowałem go, ale nie wiem jak ograniczyć obszar.

\(\displaystyle{ x}\) chyba
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 2}\)

\(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\) w ogóle nie mam pojęcia jak, proszę o pomoc

[kerajs]

To jest stożek, nie paraboloida.

Poównujesz zety (\(\displaystyle{ z=2}\) i \(\displaystyle{ z= \sqrt{x^2+y^2}}\) )
\(\displaystyle{ 2= \sqrt{x^2+y^2}}\)
co przy ograniczeniu do jednej ćwiartki , a wezmę tu pierwszą daje obszar
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 2 \wedge 0 \le y \le \sqrt{4-x^2}}\)
lub we współrzędnych biegunowych
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2 \wedge 0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{2}}\)

[Kubaniec]

a skąd się wzięło to górne ograniczenie dla y?
zety się zmieniają od
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} } \le z \le 2}\) ?

[cosinus90]

kerajs Ci napisał przecież. Skoro

\(\displaystyle{ 2=\sqrt{x^2+y^2}}\)

to po prostych przekształceniach wyznaczysz sobie \(\displaystyle{ y}\). Oczywiście będą 2 rozwiązania tej równości, ale bierzesz to z dodatnim znakiem, ponieważ mówimy o "górnej" płaszczyźnie przecinającej paraboloidę.

Co do drugiego pytania - tak, tak właśnie będzie.

[Kubaniec]

Teraz mam taki przykład, obliczyć objętość obszaru ograniczonego powierzchniami:

\(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} =z ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4z=x ^{2} +y ^{2}}\)
\(\displaystyle{ z=1}\)

rysuję, mam dwa stożki, jeden bardziej 'rozciągnięty' w górę
z góry ogranicza mi go płaszczyzna z=1
zabieram się za współrzędne walcowe

\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 2\pi}\)

nie wiem jak ograniczyć promień, ani zeta, proszę o rozjaśnienie mi zagadnienia

/edit
wymyśliłem, ale nie wiem czy dobrze, że:

\(\displaystyle{ z \le r \le 4z}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} (x ^{2} +y ^{2}) \le z \le \sqrt{x ^{2} + y ^{2} }}\)

[kerajs]

Tu masz stożek i paraboloidę obrotową.
Przecinają się gdy dokonasz ich porównania (tu wygodnie to zrobić porównując w obu x^2+y^2)
masz \(\displaystyle{ z=0 \vee z=4}\)
Dla \(\displaystyle{ z=0}\) wspólny jest punkt (początek układu wsp.)
Dla \(\displaystyle{ z=4}\) wspólny jest okrąg o promieniu 2 na tej płaszczyżnie

Dodając założenie z=1 otrzymasz dwie możliwe objętości do policzenia (jedna dla \(\displaystyle{ 0 \le z \le 1}\), druga dla \(\displaystyle{ 1 \le z\le 4}\))
Obszar całkowania to jakby cień rzucany przez wybraną bryłę na XOY. zauważ że w obu przypadkach trzeba obszar całkowania dzielić na dwa obszary normalnez powodu dwóch różnych funkcji nakrywających objętość od góry (dołu) dla pierwszej (drugiej) objętości.

Wiedząc o powyższym ponownie zastanów sia nad tym jak będą zmieniały sie zmienne zarówno w normalnych wspólrzędnych , jak i cylindrycznych.