Pomysł na rozwiązanie

[Kubaniec]

Witam, nie wiem jak sięzabrać za te całki

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ e^{x} }{1+e ^{2x} } \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{1+e ^{x} }}\)

Pozdrawiam

[Kaf]

W obydwóch zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ t=e^x}\), przy czym zapisz funkcję podcałkową jako:
1) \(\displaystyle{ \frac{ e^{x} }{1+(e ^{x})^2 }}\)
2)\(\displaystyle{ \frac{ e^{x} }{e^x+(e ^{x})^2 }}\)

[Kubaniec]

czy to będzie wyglądało tak?:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt}{1+t ^{2} }}\)

oraz

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt}{t+t ^{2} }}\)

[Kaf]

Tak.

[Kubaniec]

To teraz powiedzcie mi jak rozwiązać następujące całki:

\(\displaystyle{ 1. \int_{}^{} xarctgx \mbox{d}x}\)
Próbuję przez części, ale nie idzie

\(\displaystyle{ 2. \int_{}^{} \frac{e ^{-x} }{ \sqrt{1+e ^{-2x} } }}\)

tutaj próbuję podstawienia za \(\displaystyle{ t=e ^{-x}}\) ale nie wychodzi

\(\displaystyle{ 3. \int_{}^{} \frac{\cos ^{3}x }{\sin ^{2}x } \mbox{d}x}\)
Tutaj kompletnie wymiękam, nie mam pomysłu

\(\displaystyle{ 4. \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{5-3 \cos x}}\)

pozdrawiam

[kerajs]

\(\displaystyle{ 1. \int_{}^{} xarctgx \mbox{d}x}\)
Próbuję przez części, ale nie idzie

\(\displaystyle{ \int_{}^{} xarctgx \mbox{d}x= \frac{x^2}{2} \arctan x - \int_{}^{} \frac{x^2}{2(1+x^2)} \mbox{d}x = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} \int_{}^{ }(1-\frac{1}{1+x^2}) \mbox{d}x =...}\)

\(\displaystyle{ 2. \int_{}^{} \frac{e ^{-x} }{ \sqrt{1+e ^{-2x} } }}\)
tutaj próbuję podstawienia za \(\displaystyle{ t=e ^{-x}}\) ale nie wychodzi

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{e ^{-x} }{ \sqrt{1+e ^{-2x} } } \mbox{d}x =[t= e ^{-x} ] =\int_{}^{} \frac{- \mbox{d}t }{1+t^2} =....}\)

\(\displaystyle{ 3. \int_{}^{} \frac{\cos ^{3}x }{\sin ^{2}x } \mbox{d}x}\)
Tutaj kompletnie wymiękam, nie mam pomysłu

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\cos ^{3}x }{\sin ^{2}x } \mbox{d}x= \int_{}^{} \frac{(1-\sin ^{2}x)\cos x}{\sin ^{2}x} \mbox{d}x =\left[ t=\cos x\right]= \int_{1-t^2}^{t^2}(- \mbox{d}t )}\)

\(\displaystyle{ 4. \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{5-3 \cos x}}\)

\(\displaystyle{ t=\tan \frac{x}{2}}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} xarctgx \mbox{d}x= \frac{x^2}{2} \arctan x - \int_{}^{} \frac{x^2}{2(1+x^2)} \mbox{d}x = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} \int_{}^{ }(1-\frac{1}{1+x^2}) \mbox{d}x =...}\)

Można tak dobrać stałą aby funkcja wymierna pod całką się skróciła

\(\displaystyle{ \int_{}^{} xarctgx \mbox{d}x=\frac{1}{2}\left( x^2+1\right)\arctan{x}-\frac{1}{2}\int{ \mbox{d}x }\\
=\frac{1}{2}\left( x^2+1\right)\arctan{x}-\frac{1}{2}x+C}\)

\(\displaystyle{ 2. \int_{}^{} \frac{e ^{-x} }{ \sqrt{1+e ^{-2x} } }}\)
tutaj próbuję podstawienia za \(\displaystyle{ t=e ^{-x}}\) ale nie wychodzi
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{e ^{-x} }{ \sqrt{1+e ^{-2x} } } \mbox{d}x =[t= e ^{-x} ] =\int_{}^{} \frac{- \mbox{d}t }{1+t^2} =....}\)

Tutaj najlepiej zastosować złożenie pierwszego podstawienia Eulera z zaproponowanym przez ciebie podstawieniem

\(\displaystyle{ 3. \int_{}^{} \frac{\cos ^{3}x }{\sin ^{2}x } \mbox{d}x}\)
Tutaj kompletnie wymiękam, nie mam pomysłu
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\cos ^{3}x }{\sin ^{2}x } \mbox{d}x= \int_{}^{} \frac{(1-\sin ^{2}x)\cos x}{\sin ^{2}x} \mbox{d}x =\left[ t=\cos x\right]= \int_{1-t^2}^{t^2}(- \mbox{d}t )}\)

Tutaj raczej \(\displaystyle{ t=\sin{x}}\)

a całka z funkcji wymiernej powinna wyglądać tak

\(\displaystyle{ \int{\frac{1-t^2}{t^2} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ 4. \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{5-3 \cos x}}\)
\(\displaystyle{ t=\tan \frac{x}{2}}\)

Tutaj można domnożyć taką jedynkę aby w mianowniku otrzymać różnicę kwadratów
a następnie rozbić na sumę dwóch całek