Całka podwójna, gdzie jest błąd?

[Kubaniec]

Witam, mam do policzenia następującą całkę:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} (x+y ^{2}) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

obszar ograniczony jest
\(\displaystyle{ y=-x ^{2} oraz y=x}\)

rysuję na osi i mam, że x i y zmieniają się następująco

\(\displaystyle{ -1 \le x \le 0}\)
\(\displaystyle{ x \le y \le -x ^{2}}\)

liczę całkę oznaczoną po y, wychodzi mi

\(\displaystyle{ -x ^{3} - \frac{1}{3} x ^{6}}\)

liczę po x, wychodzi

\(\displaystyle{ - \frac{1}{4}+ \frac{1}{21}}\)

a poprawna odpowiedź to
\(\displaystyle{ \frac{1}{21}}\)

proszę o pomoc

[kerajs]

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0}\left( \int_{x}^{-x^2} \left( x+y^2\right) \mbox{d}y \right) \mbox{d}x = \int_{-1}^{0}\left( (-x^3- \frac{1}{3} x^6)-(x^2+ \frac{1}{3} x^3)\right) \mbox{d}x =.....}\)

[Kubaniec]

dziękuję, błędy rachunkowe

a teraz powiedzcie mi jak rozwiązać całkę na współrzędnych biegunowych, gdy środek okręgu jest przesunięty?

[Kartezjusz]

przesuwasz.\(\displaystyle{ x'=x+a}\)
\(\displaystyle{ y'=y+b}\)
Jakobian przesunięcia to \(\displaystyle{ 1}\)

[kerajs]

Dla obszaru \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\) (lub jego fragmentu) możesz od razu wstawić takie współrzędne biegunowe
\(\displaystyle{ x=a+r\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ y=b+r\sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ J=r}\)
Zwykle znalezienie tu wartości w jakich zmienia się kąt i promień jest prostsze niż w nieprzesuniętych biegunowych.
Na forum jest sporo zadań to pokazujących.

[Kubaniec]

\(\displaystyle{ (x-1) ^{2} +y ^{2} \le 1}\)
\(\displaystyle{ y \ge 0}\)

czy będzie

\(\displaystyle{ x=1+rcos \alpha}\)
\(\displaystyle{ y=rsin \alpha}\)
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 1}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \pi}\)

??

[kerajs]

Dobrze.