suma szeregu

[natasza123]

Bardzo prosze o pomoc. Jak policzyc sume takiego szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } k^2e^{-\lambda k}}\)

[szw1710]

Przyjmij \(\displaystyle{ x=e^{-\lambda}}\). Otrzymujemy szereg potęgowy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} k^2x^k}\). Oczywiście nie jest on zbieżny wszędzie (promieniem zbieżności jest ...). Tak więc zbieżność szeregu oczywiście zależy od \(\displaystyle{ \lambda}\). Ale powiedzmy, że \(\displaystyle{ \lambda}\) jest już odpowiednie. Sumę tego szeregu potęgowego możemy policzyć dwukrotnie różniczkując. Najpierw różniczkujemy wzór na sumę szeregu geometrycznego:

\(\displaystyle{ \left(\frac{x}{1-x}\right)'=\left(\sum_{k=1}^{\infty}x^k\right)',}\)

co daje nam

\(\displaystyle{ \dots = \sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)x^k.}\)

Stąd łatwo wyznaczamy sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}kx^k}\). Zróżniczkuj ją i przeprowadź postępowanie podobne do przedstawionego powyżej.

[natasza123]

bardzo dziękuje