Iloczyn skalarny elementów

[Aniusia010791]

Oblicz iloczyn skalarny elementów
\(\displaystyle{ 1_{\left[ 0,q \right] }}\) gdzie \(\displaystyle{ q\in [0,1]}\)
oraz \(\displaystyle{ 1_{\left[ \frac{1}{2} , \frac{3}{4} \right] }}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ L_{2} \left[ 0,1 \right]}\)
Nie mam pojęcia o co chodzi z tymi jedynkami...bo normalny iloczyn skalarny w tej przestrzeni to akurat umiem policzyć...
czy ktoś mi może wytłumaczyć te funkcje jedynkowe?

[szw1710]

Są to funkcje charakterystyczne wskazanych zbiorów. Więc przyjmują wartość \(\displaystyle{ 1}\) na danym zbiorze i zero poza nim. Jedni oznaczają \(\displaystyle{ \mathbf{1}_A}\), a inni \(\displaystyle{ \chi_A}\). Funkcję charakterystyczną nazywa się też czasem indykatorem zbioru.

[Aniusia010791]

tylko dalej nie do końca rozumiem jak poradzić sobie z tymi przedziałami...
i jak tą całkę liczyć w jakich przedziałach?

[szw1710]

Zajmij się częściami wspólnymi wskazanych zbiorów. Tylko wtedy iloczyn będzie niezerowy. Nieprawdaż? Całka zredukuje Ci się do jakiegoś przedziału.

[Aniusia010791]

coś takiego mi wychodzi \(\displaystyle{ \int_{1/2}^{3/4} 1 dt = \frac{1}{4}}\)
ale nie jestem pewna czy dobrą tą część wspólną wzięłam...

[Mogget]

Napisz iloczyn skalarny tych funkcji z definicji, zastanów się czy Twój wynik jest również dobry dla np. \(\displaystyle{ q=\frac{1}{4}}\)

[Aniusia010791]

czyli powinnam to uwarunkować od q?
jesli \(\displaystyle{ q \in \left[ 0, \frac{1}{2} \right]}\) to iloczyn jest zerowy,
dla \(\displaystyle{ q \in \left[ \frac{3}{4}, 1 \right]}\) iloczyn będzie równy \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)
a dla \(\displaystyle{ q \in \left[ \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right]}\) iloczyn wyniesie \(\displaystyle{ q- \frac{1}{2}}\)
tak??

[Mogget]

Tak.