Objętość bryły

[rafalafar]

Objętość bryły ograniczonej powierzchniami \(\displaystyle{ z=x^2+y^2}\) oraz \(\displaystyle{ x+y+z=0}\) Trudno mi sobie to wyobrazić i narysować, ale domyślam się, że płaszczyzna ścina paraboloidę pod jakimś kątem. Wstawiając zmienną \(\displaystyle{ z}\) z drugiego równania do pierwszego otrzymuję równanie okręgu\(\displaystyle{ O=(( -\frac{1}{2} , -\frac{1}{2})\ \frac{ \sqrt{2} }{2} )}\). I teraz co? Jakie współrzędne? Jak ustalić granice? Proszę o wsparcie.

[miodzio1988]

wspolrzedne biegunowe wprowadz

[rafalafar]

granice całkowania wyjdą \(\displaystyle{ 0<r<-cos \phi -sin \phi}\) a \(\displaystyle{ \pi <\phi< \frac{3}{2} \pi}\) good?

[Pijarek]

Promień jest dobrze.
kąt zmienia się w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle \frac{3 \pi }{4},\frac{ 7 \pi }{4} \right\rangle}\)

Możesz też przyjąć wsp. biegunowe:
\(\displaystyle{ x= -\frac{1}{2} +r\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ y= - \frac{1}{2} +r\sin \alpha}\)
tu łatwiej jest określić obszar całkowania, ale całkę liczy sie gorzej.

[rafalafar]

mogę prosić jeszcze tylko jak ten kąt ustaliłeś? Można go wyprowadzić?

[Pijarek]

Można go wyprowadzać ,ale i tak wynik należy sprawdzić z rysunkiem.

Wiesz że promień nie może być ujemny, czyli \(\displaystyle{ -\cos \alpha -sin \alpha \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} cos \alpha +\frac{ \sqrt{2} }{2} sin \alpha \le 0}\)
\(\displaystyle{ \sin (x+ \frac{ \pi }{4} ) \le 0}\)
\(\displaystyle{ \pi \le x+ \frac{ \pi }{4} \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{ 3\pi }{4} \le x+ \le\frac{ 7\pi }{4}}\)

Wersja 2.
Z rysunku widać że styczna do wykresu przechodząca przez (0,0) to \(\displaystyle{ y=-x}\). Kąt zmienia sie od górnej półprostej do dolnej półprostej o końcu w (0,0) czyli taki jak podałem.

[rafalafar]

wielkie dzięki!