Cześć,
nie umiem poradzić sobie z zadaniem z czerwcowego egzaminu z równań różniczkowych cząstkowych. Dopuszczam możliwość, że są pewne braki w treści, ale natrafiłem na co najmniej kilka problemów, więc raczej nie mogę zrzucić wszystkiego na możliwy brak jakiegoś założenia.
Niech \(\displaystyle{ \Omega\subset\mathbb{R}^n}\) będzie ograniczonym obszarem z gładkim brzegiem i wektorem normalnym zewnętrznym \(\displaystyle{ \vec{n}}\). Znajdź wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla których istnieje jednoznacznie słabe rozwiązanie zagadnienia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -\mathrm{div}\left((1+x_1^2)\nabla u)\right)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_i}+au=x_1 \mbox{ w }\Omega\\ -(1+x_1^2)\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}+\sum_{i=1}^n \vec{n_i}u=u \mbox{ na }\partial\Omega\end{cases}}\).
Poniżej zamieszczam swoje dotychczasowe przemyślenia. Rachunki powinny być ok:
Pierwsza kwestia dotyczy tego, czym miałoby być słabe rozwiązanie tego zagadnienia. Jeżeli mielibyśmy gładkie rozwiązanie \(\displaystyle{ u}\), to mnożąc pierwsze równanie przez gładkie \(\displaystyle{ \phi}\) i stosując pierwszy wzór Greena (wstawiając do brzegowej całki \(\displaystyle{ -(1+x_1^2)\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}}\) z drugiego równania) dostajemy \(\displaystyle{ \displaystyle\int_\Omega (1+x_1^2)\nabla u\nabla\phi \ \mathrm{ dx}+\int_\Omega au\phi \ \mathrm{ dx}+\int_\Omega \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i}\phi \ \mathrm{ dx}+\int_{\partial\Omega} u\phi(1-\sum_{i=1}^n \vec{n_i}) \mathrm{dS}=\int_\Omega x_1\phi \ \mathrm{dx}}\).
Wydaje mi się rozsądne przyjąć, że \(\displaystyle{ u\in W^{1,2}(\Omega)}\) jest słabym rozwiązaniem jeżeli dla każdego\(\displaystyle{ \phi\in W^{1,2}(\Omega)}\) mamy \(\displaystyle{ \int_\Omega (1+x_1^2)\nabla u\nabla\phi \ \mathrm{dx}+\int_\Omega \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i}\phi \ \mathrm{ dx}+\int_\Omega au\phi \ \mathrm{dx}+\int_{\partial\Omega} T(u)T(\phi)(1-\sum_{i=1}^n \vec{n_i}) \mathrm{dS}=0}\), gdzie \(\displaystyle{ T}\) to operator śladu. Być może tu jest pies pogrzebany, ale wydaje się być to sensowną analogią do tego co znajduję w literaturze, a nie przypominam sobie abyśmy widzieli na zajęciach definicję słabego rozwiązania dla zagadnień takiej postaci.
Mój plan polegał na korzystaniu z lematu Laxa-Milgrama. Pierwszy problem polega na tym, że jest tam wynikanie w jedną stronę, a w drugą już nie, czyli w optymistycznym przypadku dostajemy warunki dostateczna na \(\displaystyle{ a}\). Ograniczoność formy dwuliniowej stowarzyszonej z odpowiednim operatorem różniczkowym jest łatwo pokazać dla każdego \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\). Prawa strona równania jako funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) to ograniczony funkcjonał linowy na \(\displaystyle{ W^{1,2}(\Omega)}\) (stosujemy nierówność Cauchy-Schwarza dla iloczynu skalarnego z\(\displaystyle{ L^2(\Omega)}\), a potem szacujemy normę z L^2 przez normę z przestrzeni Sobolewa), czyli znalezienie warunku koniecznego na \(\displaystyle{ a}\) sprowadza się do badania eliptyczności rozważanej formy.
Jest to dość problematyczne z dwóch powodów. Po pierwsze nie widzę jak dobrze szacować ostatni składnik (gdyby w wyjściowym równaniu przy sumie był czynnik 2, można by go szacować np. przez \(\displaystyle{ 0}\), bo korzystając z twierdzenia o dywergencji dla pola \(\displaystyle{ F=(\frac{u^2}{2},\ldots , \frac{u^2}{2})}\) możemy wciągnąć całkę z sumą do całki brzegowej, prawie pozbywając się ujemnego składnika...). Po drugie nie będzie dobrych szacowań całek \(\displaystyle{ \int_\Omega \mid\nabla u\mid^2 \ \mathrm{dx}}\), bo nie ma założenia o spójności \(\displaystyle{ \Omega}\), potrzebnego w nierówności Poincare, oraz \(\displaystyle{ u}\) ma być może niezerowy ślad lub niezerową średnią całkową...
Chwilowy brak możliwości wykazania eliptyczności sugeruje porzucenie lematu Laxa-Milgrama albo zmianę słabego sformułowania- nie bardzo widzę jednak inne możliwości.
Istnenie słabego rozwiązania.
-
Elvis
Istnenie słabego rozwiązania.
Słabe sformułowanie wygląda OK (tylko zgubiłeś w nim to \(\displaystyle{ x_1}\)). Trochę trudno mi uwierzyć, żeby dało się wskazać graniczne \(\displaystyle{ a}\) (i jeszcze powiedzieć, co się dzieje w granicznym przypadku).
Być może autor rzeczywiście chciał postawić dwójkę przy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n u_{x_i}}\), żeby miało się skracać. Kto wie. Tak czy inaczej, wspomniany przez Ciebie wzór Greena daje
\(\displaystyle{ \int_{\partial \Omega} u \phi \sum_{i=1}^n \vec{n}_i = \int_{\partial \Omega} (u \phi \vec{v}) \cdot \vec{n} = \int_\Omega \mathrm{div} ( u \phi \vec{v} ) = \int_\Omega \sum_{i=1}^n u_{x_i} \phi + u \phi_{x_i},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \vec{v}=(1,\ldots,1)}\). W ten sposób słabe sformułowanie odrobinę zmienia postać:
\(\displaystyle{ \int_\Omega (1+x_1^2)\nabla u\nabla\phi
- \int_\Omega \sum_{i=1}^n u \phi_{x_i}
+ a \int_\Omega u \phi
+ \int_{\partial\Omega} u \phi
= \int_\Omega x_i \phi}\)
Pierwszego problemu nie umiem rozwiązać. Natomiast drugiego w ogóle nie widzę. Do wykazania eliptyczności potrzebujemy
\(\displaystyle{ \int_\Omega (1+x_1^2)|\nabla u|^2
- \int_\Omega \sum_{i=1}^n u u_{x_i}
+ a \int_\Omega u^2
+ \int_{\partial\Omega} u^2
\geqslant \theta \| u \|^2_{W^{1,2}}}\)
Jedyny składnik z minusem szacujemy punktowo np. za pomocą nierówności \(\displaystyle{ u u_{x_i} \le \frac 12 u^2 + \frac 12 u^2_{x_i}}\), wtedy dla \(\displaystyle{ a > n/2}\) mamy żądaną nierówność.
Być może autor rzeczywiście chciał postawić dwójkę przy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n u_{x_i}}\), żeby miało się skracać. Kto wie. Tak czy inaczej, wspomniany przez Ciebie wzór Greena daje
\(\displaystyle{ \int_{\partial \Omega} u \phi \sum_{i=1}^n \vec{n}_i = \int_{\partial \Omega} (u \phi \vec{v}) \cdot \vec{n} = \int_\Omega \mathrm{div} ( u \phi \vec{v} ) = \int_\Omega \sum_{i=1}^n u_{x_i} \phi + u \phi_{x_i},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \vec{v}=(1,\ldots,1)}\). W ten sposób słabe sformułowanie odrobinę zmienia postać:
\(\displaystyle{ \int_\Omega (1+x_1^2)\nabla u\nabla\phi
- \int_\Omega \sum_{i=1}^n u \phi_{x_i}
+ a \int_\Omega u \phi
+ \int_{\partial\Omega} u \phi
= \int_\Omega x_i \phi}\)
Pierwszego problemu nie umiem rozwiązać. Natomiast drugiego w ogóle nie widzę. Do wykazania eliptyczności potrzebujemy
\(\displaystyle{ \int_\Omega (1+x_1^2)|\nabla u|^2
- \int_\Omega \sum_{i=1}^n u u_{x_i}
+ a \int_\Omega u^2
+ \int_{\partial\Omega} u^2
\geqslant \theta \| u \|^2_{W^{1,2}}}\)
Jedyny składnik z minusem szacujemy punktowo np. za pomocą nierówności \(\displaystyle{ u u_{x_i} \le \frac 12 u^2 + \frac 12 u^2_{x_i}}\), wtedy dla \(\displaystyle{ a > n/2}\) mamy żądaną nierówność.