elementarny problem z potęgowaniem

[Logan123]

\(\displaystyle{ \sqrt{-1} = (-1)^{ \frac{1}{2} } = (-1)^{ \frac{2}{4} } = ((-1) ^{2} ) ^{ \frac{1}{4} } = 1^{ \frac{1}{4} } = 1}\)

Nurtował mnie kiedyś ten problem. Dlaczego rozumowanie jest błędne?

[musialmi]

Ze względu na dziedzinę funkcji pierwiastek kwadratowy (lub, jak kto woli, \(\displaystyle{ x^{ \frac{1}{2} }}\)).

[Zahion]

Przeto można identycznie bez pierwiastka !
\(\displaystyle{ (-1)=(-1)^{2\cdot \frac{1}{2}}=((-1)^{2})^{ \frac{1}{2}}=1^{ \frac{1}{2}}=1}\)
Oczywiście problem jest w cyfrach a rozwiązanie kryje się w literkach !
Otóż niech \(\displaystyle{ -1=a}\) wtedy z przejścia \(\displaystyle{ (-1)=(-1)^{2\cdot \frac{1}{2}}=((-1)^{2})^{ \frac{1}{2}}= \sqrt{a^{2}}=|a|=1 !!!}\)
A co pierwszego postu
\(\displaystyle{ ((-1) ^{2} ) ^{ \frac{1}{4} } = \sqrt[4]{a^{2}}= ???}\)
Gdzie jest błąd można się domyślić.

[Logan123]

Albo coś mi umknęło albo po prostu troszeczkę uogólniłeś mój problem dochodząc do \(\displaystyle{ a=|a|}\), co dalej nie daje odpowiedzi na moje pytanie. Gdzie jest błąd (i na czym polega)?

[AndrzejK]

Chodzi o to, że na początku masz pewną liczbę \(\displaystyle{ a=-1}\), a w przejściu \(\displaystyle{ (-1)^{ \frac{2}{4} } = ((-1) ^{2} ) ^{ \frac{1}{4} }= \sqrt[4]{(-1)^2}=|-1|}\) zamieniasz ją na \(\displaystyle{ |a|=|-1|=1}\). Oczywistym jest, że \(\displaystyle{ a \neq |a|}\) dla \(\displaystyle{ a <0}\), zatem nie jest to przejście równoważne, bo wartość całego wyrażenia się zmienia.

[AiDi]

co dalej nie daje odpowiedzi na moje pytanie.

Ale odpowiedź na swoje pytanie już uzyskałeś.

[matmatmm]

Skupmy się na

\(\displaystyle{ -1=(-1)^{2\cdot\frac{1}{2}}=\left( (-1)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=1}\)

Błąd kryje się w drugiej równości. Dlaczego? Zastanówmy się w ogóle jakie liczby można podnieść do jakich potęg. Otóż liczby ujemne można podnosić tylko i wyłącznie do potęg całkowitych! Nawet mimo faktu, że na przykład można brać z nich pierwiastki nieparzystego stopnia.
Niedopuszczalne jest napisanie, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}}\).
Aby to uzasadnić, należy spojrzeć do definicji funkcji wykładniczej. Dopuszcza ona jedynie podstawę potęgi większą od zera.

[Logan123]

Zatem nie mogę swobodnie bawić się wykładnikami licząc jakieś zadanka np:
\(\displaystyle{ (-2)^x \Leftrightarrow (-2)^{yz}}\), gdzie \(\displaystyle{ x=yz}\), bo konieczne jest dodatkowe założenie, że y i z są całkowite. Tyle przeliczonych zadań bez świadomości, że trzeba na to uważać.

A co jeśli założymy, że poruszamy się w liczbach zespolonych? Z tego co wiem to tam nie ma takich ograniczeń, wszystkie przejścia stają się poprawne, a mimo to otrzymujemy oczywistą sprzeczność.

Poza tym nie interesuje mnie czy to co rozważam nazywamy funkcją wykładniczą czy nie, więc odwoływanie się do definicji i jej ograniczeń nie ma sensu. Ograniczeniem były jedynie liczby rzeczywiste.

[Jan Kraszewski]

A co jeśli założymy, że poruszamy się w liczbach zespolonych? Z tego co wiem to tam nie ma takich ograniczeń, wszystkie przejścia stają się poprawne, a mimo to otrzymujemy oczywistą sprzeczność.

W liczbach zespolonych operacja pierwiastkowania nie jest jednoznaczna, w związku z tym pisanie w liczbach zespolonych \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) jest nadużyciem (o ile nie masz świadomości tego, co piszesz).

JK

[AiDi]

Poza tym nie interesuje mnie czy to co rozważam nazywamy funkcją wykładniczą czy nie, więc odwoływanie się do definicji i jej ograniczeń nie ma sensu.

Odwoływanie się do definicji tego co rozważasz nie ma sensu? No trochę niedobre podejście.

[Logan123]

W liczbach zespolonych operacja pierwiastkowania nie jest jednoznaczna, w związku z tym pisanie w liczbach zespolonych \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) jest nadużyciem (o ile nie masz świadomości tego, co piszesz).
JK

Wydaje mi się, że zrozumiałem - dziękuję i temat można zamknąć.

Poza tym nie interesuje mnie czy to co rozważam nazywamy funkcją wykładniczą czy nie, więc odwoływanie się do definicji i jej ograniczeń nie ma sensu.

Odwoływanie się do definicji tego co rozważasz nie ma sensu? No trochę niedobre podejście.

Ma, ale funkcja wykładnicza nie jest czymś co rozważam. Według definicji \(\displaystyle{ f(x)=(-1)^x}\) nią nie jest.

[Rajmil]

\(\displaystyle{ \sqrt{-1} = (-1)^{ \frac{1}{2} } = (-1)^{ \frac{2}{4} } = ((-1) ^{2} ) ^{ \frac{1}{4} } = 1^{ \frac{1}{4} } = 1}\)

Problem w tym że pierwiastkowanie w ogólności jest funkcją wielowartościową, to znaczy że jeśli mamy pierwiastek ntego stopnia to rozwiązań(wartości funkcji) jest n, np mając pierwiastek kwadratowy z jedynki mamy dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ \sqrt{1} = \left\{ 1, -1\right\}}\)

Ogólnie można przedstawiać pierwiastkowanie jako:
\(\displaystyle{ a^n=b}\)
Czyli chodzi o wszystkie a dla których wyrażenie jest równe b. Weźmy:
\(\displaystyle{ \sqrt{b}=a}\)
Z "definicji":
\(\displaystyle{ a^2=b}\)
dla b=1, widać od razu że a to 1 albo -1
Druga sprawa to taka że pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie da nam rozwiązania rzeczywistego. Mówiąc inaczej, punktu wyliczonego z liczby ujemnej nie zaznaczymy w układzie liczb rzeczywistych. Mój sposób na radzenie sobie z takimi "paradoksami" to takie podstawienie:
\(\displaystyle{ i^2=-1}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{i^2} = (i^2)^{ \frac{1}{2} } = (i^2)^{ \frac{2}{4} } = ((i^2) ^{2} ) ^{ \frac{1}{4} } = (i^4)^{ \frac{1}{4} } = i}\)
Ale to nie wszystko, skoro mamy pierwiastek kwadratowy to musi istnieć również drugie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ a^2=-1}\)
Teraz zastanawiam się dla jakiego a dostaniemy -1... jest to -i, sprawdźmy:
\(\displaystyle{ (-i)^2=(-1)^2*i^2=(i^2)^2*i^2=i^6=(-1)(-1)(-1)=-1}\) tak więc rozwiązanie :
\(\displaystyle{ \sqrt{-1} =\left\{ i.-i\right\}}\)

Istnieje ogólny wzór do liczenia tych pierwiastków dla wyższych stopni. Możesz sobie go znaleźć np na wiki, jakbyś miał problem ze wzorem, czy nie mógł go znaleźć to mogę go tutaj napisać i krótko omówić.

Ogólnie można zapisać że pierwiastek kwadratowy z liczby rzeczywistej a>0 to:
\(\displaystyle{ \sqrt{a} =\left\{ \sqrt{a}, -\sqrt{a}\right\}}\)
A dla rzeczywistych a<0:
\(\displaystyle{ \sqrt{a} =\left\{ i\sqrt{a}, -i\sqrt{a}\right\}}\)
Co wynika ze wzoru o którym wspominałem.

Z tego też powodu przy liczeniu pierwiastków w równaniu kwadratowym mamy x1 i x2, gdzie jedyna różnica, we wzorach na te pierwiastki, to inne znaki przy pierwiastku z delty.
Jeśli delta jest ujemna to nie oznacza że równanie nie ma pierwiastków w ogóle, nie ma jedynie tych rzeczywistych, to znaczy punktów przecięcia z osią ox, dla y=0 w układzie liczb rzeczywistych. Za to takie równanie ma pierwiastki urojone, również dwa, które liczymy analogicznie co do tych rzeczywistych.

[Zahion]

Problem w tym że pierwiastkowanie w ogólności jest funkcją wielowartościową, to znaczy że jeśli mamy pierwiastek ntego stopnia to rozwiązań(wartości funkcji) jest n, np mając pierwiastek kwadratowy z jedynki mamy dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ \sqrt{1} = \left\{ 1, -1\right\}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1}=1}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-1} = (-1)^{ \frac{1}{2} } = (-1)^{ \frac{2}{4} } = ((-1) ^{2} ) ^{ \frac{1}{4} } = 1^{ \frac{1}{4} } = 1}\)

to oczywiście dalej jest blefem.

[AndrzejK]

Problem w tym że pierwiastkowanie w ogólności jest funkcją wielowartościową

Bzdura, dziedzina funkcji pierwiastkowej jest określona na liczbach nieujemnych.

Musisz rozróżnić:

a) pierwiastek arytmetyczny- który zwykło się oznaczać właśnie tym znakiem \(\displaystyle{ \sqrt{}}\):
\(\displaystyle{ \sqrt{1}=1}\) i ogólnie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x}}\)
b) pierwiastek algebraiczny - czyli rozwiązanie równania:
\(\displaystyle{ 1=x^2= 1 \vee -1}\) i ogólnie \(\displaystyle{ a^n=x}\)

[Rajmil]

AndrzejK w wikipedii to wyczytałeś ? Piszesz bez sensu, najpierw piszesz bzdury, potem rozróżniasz dwa "rodzaje" pierwiastka, z których jeden w istocie miałby naturę wielowartościową. Gdzie ta bzdura ? Pokaż mi jakieś źródło. No w szkole uczyli nas tylko o jednym rozwiązaniu pierwiastka kwadratowego z liczby rzeczywistej dodatniej, a rozwiązania są dwa, co pokazuje się właśnie przy liczeniu choćby miejsc zerowych funkcji kwadratowej, przy pierwiastku z delty mamy przypadek - i +. To właśnie wynika z tego że pierwiastek kwadratowy z liczby rzeczywistej dodatniej ma dwa rozwiązania. To zabawne, korzystaliśmy z tego od gimnazjum przez szkołę średnią, a nikt nie wyjaśnił dlaczego tak jest. Moim zdaniem taka nauka matematyki jest idiotyzmem, kiedy pokazuje się wzory do których zrozumienia potrzebna jest szersza wiedza, która z kolei nie jest przedstawiana. A potem ludzie robią takie oczy.

-- 1 wrz 2014, o 08:33 --

AndrzejK powtórzę jeszcze raz, uogólniając pojęcie pierwiastka, okazuje się być funkcją wielowartościową. Twój "pierwiastek arytmetyczny" jest jednym z rozwiązań Twojego "pierwiastka algebraicznego". To oznacza że ten drugi jest uogólnieniem pierwszego. Używaj rozsądniej słów.

Zahion piszesz jakbyś albo nie czytał tego co napisałem, albo tego nie zrozumiał.
Jeśli natykacie się na coś czego jak dotąd nie mieliście przyjemności czytać, to proszę najpierw o uważne przeczytanie, a potem ewentualnie obrzucanie uwagami.

-- 1 wrz 2014, o 09:02 --

Bzdura, dziedzina funkcji pierwiastkowej jest określona na liczbach nieujemnych.

Ja pisze Ci o funkcji wielowartościowej a Ty piszesz mi o dziedzinie funkcji, nie rozumiesz że określenie funkcja wielowartościowa dotyczy wartości funkcji, a nie jej dziedziny ? Twierdzisz że pierwiastek istnieje tylko dla liczb rzeczywistych dodatnich ?