Mam problem z zadaniem i nie umiem sobie z nim dać rady dlatego proszę o pomoc.
a) Podać jawne wzory dla trzech parami różnych homomorfizmów z grupy \(\displaystyle{ ( \mathbb{Z}_{9}, +_{9})}\) w grupę \(\displaystyle{ ( \mathbb{Z}_{6}, +_{6})}\).
No to jeden \(\displaystyle{ f(x) = x * 0}\)
b) Podać jawny wzór homomorfizmu \(\displaystyle{ f: (\mathbb{Z},+) \to (\mathbb{Q}, +)}\), takiego że \(\displaystyle{ f(1) = \frac{1}{3}}\).
c) Wskazać wszystkie homomorfizmy z grupy \(\displaystyle{ (\mathbb{Z},+)}\) w grupę \(\displaystyle{ (\mathbb{Q}, +)}\). Odpowiedź uzasadnić.
d)Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grupą abelową, a \(\displaystyle{ f: G \to G}\) funkcją zadaną wzorem \(\displaystyle{ f(g) = g^{-1}}\). Udowodnić, że f jest homomorfizmem.
Homomorfizmy wzory
-
nowheredense_man
- Użytkownik
- Posty: 169
- Rejestracja: 27 wrz 2010, o 11:45
- Płeć: Mężczyzna
- Pomógł: 26 razy
Homomorfizmy wzory
b) \(\displaystyle{ f(x)=x/3}\)
c) \(\displaystyle{ f(x)=ax}\) (\(\displaystyle{ a}\) - liczba wymierna)
d) dla \(\displaystyle{ a,b\in G}\) jest:\(\displaystyle{ f(a\cdot b)=(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}=f(a)\cdot f(b)}\),
ponadto: \(\displaystyle{ f(1)=1^{-1}=1}\), gdzie \(\displaystyle{ 1}\) - element neutralny dla działania grupowego
c) \(\displaystyle{ f(x)=ax}\) (\(\displaystyle{ a}\) - liczba wymierna)
d) dla \(\displaystyle{ a,b\in G}\) jest:\(\displaystyle{ f(a\cdot b)=(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}=f(a)\cdot f(b)}\),
ponadto: \(\displaystyle{ f(1)=1^{-1}=1}\), gdzie \(\displaystyle{ 1}\) - element neutralny dla działania grupowego
Homomorfizmy wzory
Oj sorka w b powinno być w wymiernych mnożenie a nie dodawanie ,
a co do c ale w jaki sposob wyjaśnić, że to są wszystkie. ?
a co do c ale w jaki sposob wyjaśnić, że to są wszystkie. ?
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10305
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2429 razy
Homomorfizmy wzory
(c)
Ustalmy dowolny homeomorfizm \(\displaystyle{ f : \ZZ \to \QQ.}\) Niech \(\displaystyle{ a = f(1).}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla dowolnego \(\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, 3, 4, \ldots \}}\) mamy wówczas
\(\displaystyle{ f(k) = f( \underbrace{ 1 + \ldots + 1 }_{k \text{ razy}} ) = \underbrace{ f(1) + \ldots + f(1) }_{k \text{ razy}} = k \cdot a.}\)
\(\displaystyle{ \bullet f(0) = 0,}\) bo \(\displaystyle{ f(0) + f(0) = f(0+0) = f(0).}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla dowolnego \(\displaystyle{ k \in \{ -1, -2, -3, -4, \ldots \}}\) mamy
\(\displaystyle{ f(k) + f(-k) = f(k + (-k)) = f(0) = 0,}\) zatem \(\displaystyle{ f(k) = -f( -k ).}\)
Pokazaliśmy już, że dla takich \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ f( -k ) = (-k) \cdot a,}\) czyli
\(\displaystyle{ f(k) = -(-k) \cdot a = k \cdot a.}\)
We wszystkich trzech przypadkach mamy \(\displaystyle{ f(k) = k \cdot a.}\)
Ustalmy dowolny homeomorfizm \(\displaystyle{ f : \ZZ \to \QQ.}\) Niech \(\displaystyle{ a = f(1).}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla dowolnego \(\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, 3, 4, \ldots \}}\) mamy wówczas
\(\displaystyle{ f(k) = f( \underbrace{ 1 + \ldots + 1 }_{k \text{ razy}} ) = \underbrace{ f(1) + \ldots + f(1) }_{k \text{ razy}} = k \cdot a.}\)
\(\displaystyle{ \bullet f(0) = 0,}\) bo \(\displaystyle{ f(0) + f(0) = f(0+0) = f(0).}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla dowolnego \(\displaystyle{ k \in \{ -1, -2, -3, -4, \ldots \}}\) mamy
\(\displaystyle{ f(k) + f(-k) = f(k + (-k)) = f(0) = 0,}\) zatem \(\displaystyle{ f(k) = -f( -k ).}\)
Pokazaliśmy już, że dla takich \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ f( -k ) = (-k) \cdot a,}\) czyli
\(\displaystyle{ f(k) = -(-k) \cdot a = k \cdot a.}\)
We wszystkich trzech przypadkach mamy \(\displaystyle{ f(k) = k \cdot a.}\)