obszar zbieżności i suma szeregu potęgowego

[rafalafar]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3 ^{n-1}x^{2n} }{(n+1)4^{n}}}\) z obszarem zbieżności nie mam problemu, ale jak obliczyć sumę takiego szeregu? Jedyne skojarzenie z obliczaniem sumy to szereg geometryczny lub wypisywanie kolejnych wyrazów i szukanie jakiejś prawidłowości, ale jak to zrobić w wypadku szeregu funkcyjnego?

[szw1710]

Przedstaw w postaci \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(\dfrac{3x^2}{4}\right)^n}{3(n+1)}}\). I zabaw się sumą \(\displaystyle{ \sum\frac{t^n}{n+1}}\), która jest dość łatwa do wyznaczenia.

[yorgin]

Zapomnijmy na chwilę o \(\displaystyle{ 3^{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ 4^n}\).

Resztę można zapisać w takiej postaci:

\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{n+1}=\frac{1}{x}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^{2n+1}}{n+1}=\frac{1}{x}\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2}x^{2n+2}\right)'=}\)

co po zastosowaniu odpowiedniego twierdzenia daje się zapisać w postaci

\(\displaystyle{ =\frac{1}{2x}\left(\sum\limits_{n=1}^\infty x^{2n+2}\right)'}\)

W środku masz teraz szereg gemoetryczny.

Co z pozostałymi składnikami?

\(\displaystyle{ \frac{3^{n-1}}{4^n}=\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2n}}\)

i można to wciągnąć do \(\displaystyle{ x}\).

Pozbieraj wszystko razem i przelicz na spokojnie.

[a4karo]

@yorgin
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{4^n}=\frac{1}{x}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^{2n+1}}{n+1}=\frac{1}{x}\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2}x^{2n+2}\right)'}\)

Możesz przybliżyć skąd taka formuła? o pierwszą równość mi chodzi.
BTW wyjaśnienie szw1710 wydaje mi sie klarowniejsze, choćby dlatego, że on już od początku "wciągnął to do iksa", a poza tym nie bawi się szeregami z parzystą potęgą.

[yorgin]

a4karo, babola zrobiłem w zapisie.

Dzięki Ci za zwrócenie uwagi. Poprawione.

Co do klarowności - cóż, są różne szkoły rozwiązywania tego samego problemu