Prosta równoległa do dwóch płaszczyzn

[Poszukujaca]

Mam dylemat, czy metoda, którą stosuję jest dobra, dlatego proszę o wyjaśnienie.

Mam znaleźć równanie prostej, która jest równoległa do dwóch płaszczyzn \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\) oraz przechodzi przez punkt przecięcia płaszczyzn \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\). Wszystkie trzy płaszczyzny mam dane w postaci ogólnej, więc wiem jakie są ich wektory normalne.

Robię tak. Najpierw szukam punktu przecięcia, aby otrzymać jeden punkt, który należy do prostej. Tutaj sprawa jest prosta - po prostu rozwiązuje układ trzech równań - każde równanie to jedna płaszczyzna i jego rozwiązaniem jest punkt przecięcia, który należy do szukanej prostej. Żeby wyznaczyć równanie prostej potrzebuję jeszcze wektora kierunkowego.

Wektor kierunkowy znajduję w ten sposób:
Oznaczam go sobie: \(\displaystyle{ \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})}\). Skoro prosta jest równoległa do tych dwóch płaszczyzn, to wektor ten musi być prostopadły do wektora normalnego jednej i drugiej płaszczyzny. Dzieje się tak, gdy iloczyn skalarny tych wektorów jest równy zero. Tworze układ dwóch równań z czterema niewiadomymi. Rozwiązuje go tak, że mam rozwiazanie z parametrem. I właśnie tutaj nie jestem pewna, czy mogę w ten sposób wyznaczyć wektor kierunkowy prostej, majać trzy współrzędne zależy od parametru.

Będę wdzięczna za wszelkie wyjaśnienia i uwagi.

[kerajs]

Cześć.
Mając punkt współny trzech płaszczyzn (czyli pkt, zaczepienia prostej) wektor kierumkowy prostej znajdujesz z iloczynu wektorowego wektorów normalnych płaszczyzn \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\). (To standardowe rozwiazanie)
Jest on prostopadły do danego wektora normalnego, a więc i równoległy do płaszczyzny z której normalny był dany.


Twój pomysł:

Tworze układ dwóch równań z czterema niewiadomymi. Rozwiązuje go tak, że mam rozwiazanie z parametrem.

(Raczej z trzema niewiadomymi.)
Ponieważ wektor kierunkowy może mieć dowolną długość przyjmij że np. jego pierwsza współrzędna jest równa 0 lub1 lub 2. (Warto wpierw wybrać zero )
Gdy wyjdzie układ sprzeczny weź inną wartość.

[mariakow]

A czy przypadkiem \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) nie są równoległe?

[kerajs]

Gdy \(\displaystyle{ \alpha \left| \right| \beta}\) (lub jedna z nich jest \(\displaystyle{ \left| \right| \gamma}\))
to układ równań \(\displaystyle{ \alpha \beta \gamma}\) nie jest oznaczony.

[a4karo]

A czy przypadkiem \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) nie są równoległe?

Jak są równoległe, to skąd weźmiesz punkt przecięcia trzech płaszczyzn?

[mariakow]

To co to jest prosta równoległa do dwóch płaszczyzn, które nie są równoległe?

[a4karo]

Jak sobie weźmiesz styk podłogi i ściany i postawisz prostokątny stół równolegle do ściany, to jego krawędź jest równoległą do podłogi i ściany

[mariakow]

Ok. Bez stołu: jeśli płaszczyzny nie są równoległe, to się przecinają wzdłuż pewnej prostej. I teraz już łatwo znaleźć równoległą.

[Poszukujaca]

Cześć.
Mając punkt współny trzech płaszczyzn (czyli pkt, zaczepienia prostej) wektor kierumkowy prostej znajdujesz z iloczynu wektorowego wektorów normalnych płaszczyzn \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\). (To standardowe rozwiazanie)
Jest on prostopadły do danego wektora normalnego, a więc i równoległy do płaszczyzny z której normalny był dany.

Chyba to rozwiązanie jest najlepsze.

(Raczej z trzema niewiadomymi.)
Ponieważ wektor kierunkowy może mieć dowolną długość przyjmij że np. jego pierwsza współrzędna jest równa 0 lub1 lub 2. (Warto wpierw wybrać zero )
Gdy wyjdzie układ sprzeczny weź inną wartość.

Tak oczywiście, chodziło mi o trzy.
Jednak mój sposób z zostawieniem parametru i potem pozbyciem się go przez pomnożenia równania prostej w postaci kanonicznej, nie należy do prawidłowych, gdyż okazuje się, że rozwiązując ten układ na dwa sposoby, wychodzą mi różne wektory, które nie są równolegle.

Spróbuje zrobić tak jak radzisz, czyli najpierw podstawić za pierwszą współrzędną dowolną wartość. Wtedy rozwiazanie powinno być jednoznaczne, bo nie ma znaczenia długość wektora, lecz proporcje między współrzędnymi.

[Jarmil]

W ogólnym przypadku, prosta nie może być równocześnie równoległa do dwóch płaszczyzn, oraz przecinać w którymkolwiek punkcie prostą ich przecięcia, poza sytuacją że się pokrywa z prostą ich przecięcia. Ten punkt przecięcia trzech płaszczyzn byłby na prostej przecięcia się tych dwóch równoległych do prostej. Wtedy trzecia jest niepotrzebna, bo nei robiłoby żadnej różnicy w jakim punkcie się te trzy płaszczyzny przetną.

-- 26 sie 2014, o 00:58 --

Zasugerowałem się tą trzecią i napisałem o sprzeczności na początku