Rozkład N(o,1) - wyznaczyć gęstość rozkładu X/Y

[me123]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne i mają rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Wyznaczyć gęstość rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X/Y}\).

Pomyślałam, aby to zrobić przez policzenie dystrybuanty, ale tej gęstości się chyba nie da scałkować :/ może istnieje jakiś szybki, sensowny sposób na to zadanie?

[Chromosom]

Istnieją metody obliczania całki \(\displaystyle{ \int\limits^\infty_{-\infty}e^{-x^2}\,\text dx}\). Wyszukiwanie pod hasłem całka Gaussa prowadzi do pomocnych wyników.

[me123]

hmmm, przedstawię swój sposób, może coś robię nie do końca dobrze, bo nawet całka Gaussa mi nie pomaga:
\(\displaystyle{ F _{X/Y} \left( t \right) =P \left( \frac XY \le t \right) = P \left( \frac{X}{t} \le Y \right) = \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{ \frac{x}{t} }^{\infty} \frac{1}{2 \pi } \exp \left( \frac{-x ^{2} - y^{2}}{2} \right) dydx = \frac{1}{2 \pi }\int_{- \infty }^{ \infty } \exp \left( \frac{-x ^{2}}{2} \right) \int_{ \frac{x}{t} }^{\infty} \exp \left( \frac{ - y^{2}}{2} \right) dydx}\)
I teraz potrzebuję policzyć całkę od \(\displaystyle{ \frac{x}{t}}\) do \(\displaystyle{ \infty}\), i tu mam problem

[Chromosom]

Wstępnie proponuję wykonać rysunek i zwrócić uwagę na symetrię obszaru i funkcji. Nie jestem jednak pewien, czy doprowadzi to do dobrego rezultatu - w najbliższym czasie zamieszczę dodatkowe propozycje.