Oblicz całkę potrójną, 2 metody - różne wyniki.

[lucas7]

Siema, mam taką całką: \(\displaystyle{ \int \int \int dxdydz}\)
\(\displaystyle{ V: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2Rz, z^{2} = x^{2} + y^{2}}\)
Będzie to kula i stożek, chodzi o tę dolną część.
opcja 1: walcowe:
\(\displaystyle{ 0\le \varphi \le 2\pi, R- \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} \le z \le \sqrt{x^{2} + y^{2}}, 0\le r \le R}\)
wynik wychodzi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}R^{3}}\) wolfram też potwierdza:

opcja 2: sferyczne(robione na zajęciach, więc raczej ok):
\(\displaystyle{ 0\le \varphi \le 2\pi, 0 \le \theta \le \frac{ \pi }{4}, 0 \le r \le 2R\cos \theta}\)
wynik wychodzi \(\displaystyle{ \pi R^{3}}\) wolfram też tak wyliczył:

moglibyście mi powiedzieć, czy dobrze są wyznaczone zmienne w obu sposobach? Głowię się nad tym dzisiaj dość długo i nie mam pojęcia co jest źle :/

[Kartezjusz]

Jakobiany?

[lucas7]

A tak, sorry.
Przy walcowych:
\(\displaystyle{ x = r\cos \varphi, y = r\sin \varphi, z = z, J = r}\)
Przy sferycznych:
\(\displaystyle{ x = r\cos \varphi \sin \theta, y = r\sin \varphi \sin \theta, z = r\cos \theta, J = r^{2}\sin \theta}\)

[kristoffwp]

Przemyślałem sobie dogłębnie sprawę, ale jeszcze nie liczyłem. Bryła znajduje się powyżej płaszczyzny OXY. Opis we współrzędnych sferycznych się zgadza. W walcowych: Na moje oko kąt jest OK, ale pozostałe nierówności inaczej: \(\displaystyle{ 0\le\varphi \le 2\pi, R- \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} \ge z \ge \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\), \(\displaystyle{ 0\le r \le z}\)
Jest kwestia jakobianu, bo o ile się nie mylę, są dwie wersje współrzędnych sferycznych w zależności od tego, jak rozumiemy kąt \(\displaystyle{ \theta}\).

[lucas7]

Dlaczego tak druga nierówność? Przecież od góry jest ograniczenie stożkiem, a od dołu kulą...a r wyliczyłem z tych dwóch równań:
\(\displaystyle{ z^{2} = x^{2} + y^{2} \wedge {x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2Rz}\)
\(\displaystyle{ 2z^{2} = 2Rz}}\)
\(\displaystyle{ z = R}\)
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = R^{2}}\)

[kristoffwp]

Na moje oko z góry sferą a z dołu stożkiem. Weź \(\displaystyle{ x=y=0}\). Widzisz, że dla sfery \(\displaystyle{ z=0 \vee z=2R}\), a dla stożka \(\displaystyle{ z=0}\)?

-- 21 sie 2014, o 14:54 --

Sfera jest styczna do płaszczyzny OXY w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\). I jest w dodatniej półprzestrzeni \(\displaystyle{ (z \ge 0)}\)

[lucas7]

Ja to tak widzę

EDIT: dobra już wiem co zrobiłem źle. W "tych" sferycznych kąt mierzymy od osi OZ a nie od płaszczyzny OXY. czyli jeśli liczymy obszar pod stożkiem to powinien być przedział \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} \le \theta \le \frac{ \pi }{2}}\), wtedy wynik wychodzi taki sam jak w walcowych. A tak w ogóle to jednak było w tym ćwiczeniu założenie, że \(\displaystyle{ R \in V}\) czyli trzeba było policzyć górną część, więc przedział w sferycznych był dobry. Jeśli źle zrozumiałem odnośnie tych współrzędnych sferycznych to proszę mnie poprawić. Dzięki!

[kristoffwp]

No właściwie to możesz liczyć też drugą część tej kuli, ograniczoną z góry sferą a z dołu stożkiem. Teraz rozumiem, co liczysz. Kąt będzie OK, ale we współrzędnych cylindrycznych na pewno źle miałbyś \(\displaystyle{ r}\). ... 4a375.html