nierówność z wart.bezwzgl.

[34gr]

Witam,
proszę o poradę w kwestii rozwiązania równań:
\(\displaystyle{ 3|x-|x+|x-4|||>|x+|x-|x+3|||}\)
oraz
\(\displaystyle{ |||x-4|+|x+2||-|x|| < 6}\)

[szw1710]

Drugie zadanie jest dość łatwe. Możesz skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ |u|<3\iff -3<u<3}\) zauważając, że \(\displaystyle{ \bigl||x-2|+|x+2|\bigr|=|x-2|+|x+2|}\). Teraz miejsca zerowe wyrażeń podmodułowych i mamy tu tylko cztery przypadki, więc analitycznie nawet ładnie wyjdzie.

Co do pierwszego, któż takie paskudztwa wymyśla Nie zastanawiałbym się nad rozwiązywaniem analitycznym, zrobiłbym graficznie. Oczywiście analitycznie też się da, lecz będzie masa przypadków. Ale - jak w drugim zadaniu - nie wszystkie moduły są potrzebne.

[34gr]

czy da się to jakoś uprościć?

[Zahion]

Co do pierwszego, któż takie paskudztwa wymyśla Nie zastanawiałbym się nad rozwiązywaniem analitycznym, zrobiłbym graficznie. Oczywiście analitycznie też się da, lecz będzie masa przypadków. Ale - jak w drugim zadaniu - nie wszystkie moduły są potrzebne.

Niekoniecznie !
Wystarczy zauważyć, że przecież zachodzą nierówności
\(\displaystyle{ x + |x-4|=(x-4)+|x-4|+4 \ge 4}\) oraz \(\displaystyle{ x - |x+3|<0}\). Skąd nasza nierówność jest sprowadzona do postaci \(\displaystyle{ 3|x-4|>|x-3|}\) a to już chwilka.

[szw1710]

Gratulacje!!!

[Zahion]

E tam... Już kiedyś widziałem podobny problem, teraz go tylko odtworzyłem

[szw1710]

To tylko dobrze o Tobie świadczy. Widać, że nabierasz doświadczenia, a ono jest nieocenione. Ogoliłeś na łyso starego rutyniarza

[34gr]

gratuluję i dziękuję! szczerze to nie znałem takiego "wzoru" i podejścia do wartości bezwzględnej. szczerze dla mnie zawsze to jest swojego rodzaju zgadywanka...

[Zahion]

Widać, że nabierasz doświadczenia, a ono jest nieocenione.

Musze to zapamiętać.
Dziękuje .

[henryk pawlowski]

Druga nierówność zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej,wystarczy dwa razy zastosować nierówność trójkąta dla funkcji moduł.

[Rajmil]

\(\displaystyle{ 3|x-|x+|x-4|||>|x+|x-|x+3|||}\)

34gr, spróbuje Ci wyjaśnić o co chodzi:
zacznijmy od lewej strony nierówności:
\(\displaystyle{ L=3|x-|x+|x-4|||}\)
Etap I
oczywiste jest że zależnie od x mamy:
1)\(\displaystyle{ x-4 \ge 0}\)
2)\(\displaystyle{ x-4 <0}\)
Z tego wniosek, że tej wartości bezwzględnej nie możemy pominąć.

Etap II
Idąc dalej, zastanówmy się czy wartość z tamtej wartości bezwzględnej zmienia coś z :
\(\displaystyle{ x+|x-4|}\)
Wiemy że po wartości bezwzględnej zawsze dostajemy wartość dodatnią, to znaczy że niezależnie od x mamy \(\displaystyle{ |x-4| \ge 0}\), a dodając do dowolnego x jakąś dodatnią wartość, zwiększamy ją, ewentualnie nie zmieniamy jej wartości jeśli \(\displaystyle{ x=4}\) z tego \(\displaystyle{ |x-4|=0}\), ale wtedy:
\(\displaystyle{ x+|x-4| >0}\)
Sprawdźmy czy istnieje x dla którego:
\(\displaystyle{ x+|x-4| =0}\)
zakładamy że:
\(\displaystyle{ x-4 \ge 0}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ x+x-4 =0}\)
\(\displaystyle{ x =2}\)
Czy spełnia założenie:
\(\displaystyle{ x-4=2-4<0}\)
nie jest rozwiązaniem, następne założenie to:
\(\displaystyle{ x-4<0}\)
\(\displaystyle{ x-(x-4) =0}\)
\(\displaystyle{ 4 =0}\)
sprzeczność, czyli nierówność jest ostra, dla każdego x:
\(\displaystyle{ x+|x-4|>0}\)
Z tego też dostajemy wniosek:
\(\displaystyle{ x+|x-4| \ge x}\)
Czyli możemy sobie tą wartość bezwzględną pominąć, wstawiając za nią nawiasy:
\(\displaystyle{ 3|x-|x+|x-4|||=3|x-(x+|x-4|)|}\)

Etap III
Teraz skoro zawsze zachodzi:
\(\displaystyle{ x+|x-4| >0}\)
oraz:
\(\displaystyle{ x+|x-4| \ge x}\)
to, niezależnie od x mamy:
\(\displaystyle{ x-(x+|x-4|) \le 0}\)
Z tego pojawiają się dwa wnioski:
1) dla każdego x poza x=4 mamy:
\(\displaystyle{ x-(x+|x-4|) <0}\)
Skoro z wartości bezwzględnej dostajemy zawsze wartość dodatnią, więc musimy przemnożyć tą wartość przez (-1):
\(\displaystyle{ 3|x-(x+|x-4|)|=-3(x-(x+|x-4|))=-3x+3x+3|x-4|=3|x-4|}\)
2) dla x=4, ponieważ z lewej strony dostaniemy 0, możemy pominąć wartość bezwzględną, wstawiając nawias:
\(\displaystyle{ 3(x-(x+|x-4|))=3x-3x-3|x-4|=-3|x-4|}\)
Jednak taką postać mamy jedynie dla x=4, sprawdźmy zatem czy taki x jest w ogóle rozwiązaniem całej nierówności:
\(\displaystyle{ 3|x-|x+|x-4|||>|x+|x-|x+3|||}\)
\(\displaystyle{ 3|4-|4+|4-4|||>|4+|4-|4+3|||}\)
\(\displaystyle{ 0>7}\)
Widzimy że dostaliśmy sprzeczność, więc x=4 nie należy do rozwiązań, można ten przypadek pominąć.
Tak więc z lewej strony dostajemy:
\(\displaystyle{ L=3|x-4|}\)

Teraz prawa strona:
\(\displaystyle{ P=|x+|x-|x+3|||}\)
Etap I
Od razu widzimy że zależnie od x możemy dostać:
1) \(\displaystyle{ x+3 \ge 0}\)
2) \(\displaystyle{ x+3<0}\)
Czyli tej wartości bezwzględnej nie możemy pominąć.
Etap II
Idąc dalej, niezależnie od x, mamy \(\displaystyle{ |x+3| \ge 0}\), co więcej w środku wartości bezwzględnej zwiększamy x o 3, dostając \(\displaystyle{ |x+3|>x}\). Sprawdźmy czy jest jakaś wartość dla którego prawdziwe jest wyrażenie:
\(\displaystyle{ x-|x+3|=0}\)
dla
\(\displaystyle{ x+3<0}\)
mamy:
\(\displaystyle{ x+x+3=0}\)
\(\displaystyle{ 2x=-3}\)
\(\displaystyle{ x=-\frac{3}{2}}\)
sprawdźmy czy spełnia założenie:
\(\displaystyle{ x+3=-\frac{3}{2} +3 >0}\)
więc nie spełnia założenia i nie jest rozwiązaniem,
oraz drugi przypadek dla
\(\displaystyle{ x+3 \ge 0}\)
mamy:
\(\displaystyle{ x-x-3=0}\)
tutaj dostajemy sprzeczność, tak więc nie ma takiego x dla którego
\(\displaystyle{ x-|x+3|=0}\)
I dostajemy nierówność ostrą, dla każdego x:
\(\displaystyle{ x-|x+3|<0}\)
Sprawdźmy jeszcze czy jest takie x dla którego:
\(\displaystyle{ x-|x+3| = x}\)
co jest prawdziwe dla:
\(\displaystyle{ x=-3}\)
oraz ponieważ zmniejszamy x o dodatnią wartość |x+3| więc:
\(\displaystyle{ x-|x+3| \le x}\)
Ale skupiając się na:
\(\displaystyle{ x-|x+3|<0}\)
Tutaj musimy przemnożyć całe wyrażenie przez (-1), ponieważ obliczając wartość bezwzględna zawsze dostajemy wartość dodatnią:
\(\displaystyle{ |x+|x-|x+3|||=|x-(x-|x+3|)|}\)

Etap III
Ostatnie co robimy to rozważamy:
\(\displaystyle{ |x+|x-|x+3||}\)
skoro
\(\displaystyle{ x-|x+3| \le x}\)
oraz
\(\displaystyle{ x-|x+3|<0}\)
dla \(\displaystyle{ x<0}\)
czyli znajdującego się w przedziale:
\(\displaystyle{ x-|x+3| \le x<0}\)
Wartość bezwzględna lewej strony zmieni znaki:
\(\displaystyle{ |x-|x+3|| \ge |x|>0}\)
W efekcie dostaniemy:
\(\displaystyle{ x+|x-|x+3| \ge 0}\)
Dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)
i
\(\displaystyle{ |x-|x+3||>0}\)
mamy:
\(\displaystyle{ x+|x-|x+3|>0}\)
Czyli składając wszystko dla dowolnego x mamy:
\(\displaystyle{ x+|x-|x+3| \ge 0}\)
w takim wypadku wystarczy pominąć wartość bezwzględną:
\(\displaystyle{ |x+|x-|x+3|||=|x-(x-|x+3|)|=x-(x-|x+3|)=|x+3|}\)
Czyli
\(\displaystyle{ P=|x+3|}\)

Można do tego wyniku dojść szybciej wykorzystując obserwację z etapu I i II, pomijając III dla L i P.
Dla L wynika z etapu I i II że:
\(\displaystyle{ 3|x-|x+|x-4|||=3|x-(x+|x-4|)|=3|-|x-4||=3|x-4|}\)
Dla P wynika z etapu I i II że:
\(\displaystyle{ |x+|x-|x+3|||=|x-(x-|x+3|)|=||x+3||=|x+3|}\)

Z tego nierówność:
\(\displaystyle{ 3|x-|x+|x-4|||>|x+|x-|x+3|||}\)
Ma taką postać:
\(\displaystyle{ 3|x-4|>|x+3|}\)-- 1 wrz 2014, o 03:43 --Druga nierówność:
\(\displaystyle{ |||x-4|+|x+2||-|x|| < 6}\)

\(\displaystyle{ L=|||x-4|+|x+2||-|x||}\)
Skoro:
\(\displaystyle{ |x-4|>0}\)
\(\displaystyle{ |x+2|>0}\)
to:
\(\displaystyle{ |x-4|+|x+2|>0}\)
Więc wartość bezwzględną można pominąć:
\(\displaystyle{ ||x-4|+|x+2||=|x-4|+|x+2|}\)
\(\displaystyle{ L=||x-4|+|x+2|-|x||}\)
dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) mamy:
\(\displaystyle{ |x+2|-|x| \ge 0}\)
dla x<0 mamy:
\(\displaystyle{ |x-4|-|x| \ge 0}\)
Więc dla każdego x mamy:
\(\displaystyle{ |x-4|+|x+2|-|x| > 0}\)
Nie ma tutaj znaczenia czy nierówność jest ostra czy nie, więc nie będę tego określał. W takim wypadku wystarczy tą wartość bezwzględną pominąć:
\(\displaystyle{ L=||x-4|+|x+2|-|x||=|x-4|+|x+2|-|x|}\)

\(\displaystyle{ |x-4|+|x+2|-|x| < 6}\)

[Zahion]

a dodając do dowolnego x jakąś dodatnią wartość, zwiększamy ją, ewentualnie nie zmieniamy jej wartości jeśli \(\displaystyle{ x=4}\)

Nie rozumiem.

[Rajmil]

Mam dowolne x, ujemne/dodatnie wszystko jedno, jeśli dodajemy do niej wartość dodatnią to zawsze zwiększamy jej wartość niezależnie jakie x jest ? Może dla niektórych nie jest to oczywiste... w takim razie nie zrozumiałeś niczego co napisałem wyżej. [ciach]

[Zahion]

No właśnie ciężko jest ...
Zaczynasz

Mam dowolne x, ujemne/dodatnie wszystko jedno, jeśli dodajemy do niej wartość dodatnią to zawsze zwiększamy jej wartość niezależnie jakie x jest ?

Nie wiem do czego odnosi się "Niej" .
Chyba chodzi Ci o fakt, że dla dowolnego \(\displaystyle{ k > 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ x < x + k}\), ale przecież Ty po chwili piszesz, że

ewentualnie nie zmieniamy jej wartości jeśli x=4

( domyślam się z tego wycinku ), że masz na myśli wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x) = |x-4|}\), oczywiście zwiększając wartość \(\displaystyle{ x}\) funkcja niekoniecznie rośnie, czy się mylę \(\displaystyle{ x =2, x=3}\) ?
Jeśli chodzi Ci o funkcje \(\displaystyle{ f(x) = x + |x-4|}\) to to stwierdzenie też jest fałszem.

jeśli dodajemy do niej wartość dodatnią to zawsze zwiększamy jej wartość niezależnie jakie x jest ?

ewentualnie nie zmieniamy jej

Zawsze zwiększamy wartość, ale jej nie zmieniamy ! To chyba klucz.
Generalnie nie rozumiem dalej.

[Rajmil]

Przecież masz \(\displaystyle{ x+}\) wartość bezwzględną której wynik zawsze jest DODATNI. Jeśli w podanym przykładzie mamy \(\displaystyle{ x=4}\), wtedy w wartości bezwzględnej dostaniemy \(\displaystyle{ |0|}\) a \(\displaystyle{ 4}\) (które jest \(\displaystyle{ x}\)) \(\displaystyle{ + |0|}\) nie zmienia tej wartości, dalej jest \(\displaystyle{ 4}\) ? Przecież jakbym mówił coś źle to doszedłbym do innych wniosków niż osoba u której uznałeś rozumowanie za prawidłowe...

-- 1 wrz 2014, o 21:52 --

Owszem stosuje pewne skróty myślowe, ale wydawało mi się że są oczywiste...

-- 1 wrz 2014, o 21:55 --

To co tam napisałem to czysta logika... jeśli dla kogoś nie jest to oczywiste, to musi po prostu się skupić, poświęcić na to trochę więcej czasu i zrozumie.