postać zwarta ciągu + f. tworzące

[anders90]

Witam,

prosiłbym o pomoc lub ewentualne wskazówki do rozwiązania zadania:

Wyznacz postać zwartą ciągu wykorzystując aparat funkcji tworzących:

\(\displaystyle{ a_{n}= 3a_{n-1}+2^{n-2}-1, n \ge 2, a_{0}=0, a_{1}=0}\)

z góry dziękuje!

Pozdrawiam.

[octahedron]

\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+\sum_{n=2}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=2}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=2}^{\infty}\left( 3a_{n-1}+2^{n-2}-1\right) x^n=\sum_{n=2}^{\infty}3a_{n-1}x^n+\sum_{n=2}^{\infty}2^{n-2}x^n-\sum_{n=2}^{\infty}x^n=3x\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}x^{n-1}+\frac{1}{4}\sum_{n=2}^{\infty}2^{n}x^n-\sum_{n=2}^{\infty}x^n=3xA(x)+\frac{1}{4} \cdot \frac{\left( 2x\right)^2 }{1-2x}-\frac{x^2}{1-x}=3xA(x)+\frac{x^2}{1-2x}-\frac{x^2}{1-x} \Rightarrow \\ A(x)\left( 1-3x\right)=\frac{x^2}{1-2x}-\frac{x^2}{1-x}\\
A(x)=\frac{x^2}{\left(1-3x \right) \left( 1-2x\right) }-\frac{x^2}{\left( 1-3x\right)\left( 1-x\right) }=\\=\frac{1}{6\left(1-3x\right)}-\frac{1}{2\left( 1-2x\right) }+\frac{1}{2\left(1-x\right) }-\frac{1}{6}=\\=\frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}3^nx^n-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}2^nx^n+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}x^n-\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n,\ b_n= \begin{cases} \frac{1}{6},\ n=0 \\0,\ n>0 \end{cases} \Rightarrow \\
a_n=\frac{1}{6} \cdot 3^n-\frac{1}{2} \cdot 2^n+\frac{1}{2}-b_n=\frac{1}{2} \left( 3^{n-1}+1\right) -2^{n-1}-b_n\\}\)

[Lukassz]

Mam pytanie do drugiej linijki potęga przy \(\displaystyle{ x}\) bierze się od \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) tak?

edit: jeśli to możliwe prosiłbym o wyjaśnieni trzeciej linijki

[Kartezjusz]

Widzę błąd W trzeciej linii \(\displaystyle{ \frac{1}{4}4^{n} \neq 1}\)dla

[Lukassz]

A skąd wzięły się ułamki w trzeciej linii za \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)?

[octahedron]

Mam pytanie do drugiej linijki potęga przy \(\displaystyle{ x}\) bierze się od \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) tak?

Tak, chcemy mieć \(\displaystyle{ a_{n-1}x^{n-1}}\)

jeśli to możliwe prosiłbym o wyjaśnieni trzeciej linijki

Te ułamki po \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) biorą się ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

Widzę błąd W trzeciej linii \(\displaystyle{ \frac{1}{4}4^{n} \neq 1}\)dla

Możesz trochę uściślić ?

[Lukassz]

Ok, a jak ten wzór na sumę szeregu jest wykorzystywany i po co dokładnie?

[octahedron]

Wzór jest taki:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}}\)
Umożliwia zwinięcie lub rozwinięcie sumy w jedno wyrażenie.