calka - problem.

[adi1337]

witam.
od czego powinienem wyjsc przy tej calce? nie bardzo wiem, co podstawic albo co robic przez czesci.:/

\(\displaystyle{ \int \frac{x^{2} dx }{(1+ x^{2} ) ^{2} }}\)

[luka52]

Przez części:
\(\displaystyle{ u = x, v' = \frac{x}{(1+x^2)^2}}\)

\(\displaystyle{ \ldots = - \frac{x}{2(1+x^2)} + \int \frac{\; \dd x}{2(1+x^2)} = C - \frac{x}{2(1+x^2)} + \frac{1}{2} \arctan x}\)

[Jelon]

możesz też dodać i odjąć jedynkę w liczniku i skorzystać ze wzoru rekurencyjnego

[Mariusz M]

Jelon, to nic nie da
Jak wyprowadzasz wzór rekurencyjny ?
Alternatywą może być wydzielenie części wymiernej
79919.htm

witam.
od czego powinienem wyjsc przy tej calce? nie bardzo wiem, co podstawic

Podstawić możesz \(\displaystyle{ x=\tan{t}}\)
ale przy większych wykładnikach nie jest to opłacalne

[Jelon]

a na wykładzie miałem wyprowadzany na te całeczki typu \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{(x^{2}+1)^{n}}}\) i w mądrych książeczkach takich jak Fichtenholz też jest wyprowadzony jak się nie mylę.

z tego co pamiętam wyprowadza się to przez części chyba właśnie

poza tym pewny jesteś, że to nic nie da? no bo stosując mój sposób to otrzymamy \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{1+x^{2}} - \int\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}}\) pierwsza jest elementarna, a w przypadku drugiej wystarczy znać ten wzór (co łatwe nie jest, bo jest on dość skomplikowany, ale metoda raczej powinna nas doprowadzić do rozwiązania)

[Mariusz M]

Uważam że nie trzeba obciążać pamięci wystarczy wiedzieć jak ten wzór wyprowadzić
Aby dostać wzór rekurencyjny liczysz początkową całkę przez części
Całkowanie jedynki i różniczkowanie pozostałego czynnika w całce
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}}\) nie jest wygodne w użyciu
bo podnosi potęgę mianownika