Objętość bryły ograniczonej paraboloidą i płaszczyzną.

[januszekm3]

Mam takie zadanie:

Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami: \(\displaystyle{ z=x^2+y^2}\) oraz \(\displaystyle{ x+y+z=0}\)

Polecono mi, żebym podstawił \(\displaystyle{ z}\), więc podstawiam i dostaję coś takiego:

\(\displaystyle{ (x+ \frac{1}{2} )^2+(y+ \frac{1}{2} )^2= \frac{1}{2}}\)

Nie do końca wiem co mi to dało, czy ktoś mógłby mnie pokierować co dalej? Nie potrzebuję (chyba) całego rozwiązania, a jedynie kilku wskazówek i/lub całki którą dostaję i którą teraz powinienem policzyć.

Pozdrawiam
januszekm3

[kerajs]

Dostałeś obszar całkowania. (To jakby cień który rzuca Twoja bryła na płaszczyznę XOY). Z niego wyliczasz granice całkowania
np:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{2} }{2} \le x \le -\frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}- \sqrt{ \frac{1}{2}-(x+ \frac{1}{2} )^2 } \le y \le -\frac{1}{2}+ \sqrt{ \frac{1}{2}-(x+ \frac{1}{2} )^2 }}\)
Co daje :
\(\displaystyle{ V= \int_{-\frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{2} }{2}}^{-\frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{2} }{2}} \left( \int_{-\frac{1}{2}- \sqrt{ \frac{1}{2}-(x+ \frac{1}{2} )^2 }}^{-\frac{1}{2}+ \sqrt{ \frac{1}{2}-(x+ \frac{1}{2} )^2 }} \left( \left( -x-y\right)-\left( x^2+y^2\right) \right) \mbox{d}y \right) \mbox{d}x =....}\)

Przejście na współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{2} =r\cos \alpha \wedge y+ \frac{1}{2} =r\sin \alpha}\)
ułatwi jej rozwiazanie.

[januszekm3]

Ładnie, dziękuję, teraz (zapewne) dam sobie radę. (Nie)wielkie pytanie: czemu przy przechodzeniu na współrzędne biegunowe podstawiasz za \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{2}}\) a nie po prostu za \(\displaystyle{ x}\)? Pytanie ogóle - jak w innych zadaniach zauważyć (?) że warto podstawić za coś innego niż \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)?

[kerajs]

(Nie)wielkie pytanie: czemu przy przechodzeniu na współrzędne biegunowe podstawiasz za \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{2}}\) a nie po prostu za \(\displaystyle{ x}\)?

Bo łatwiej mi w tym układzie wyliczyć kąt (\(\displaystyle{ \left\langle 0,2 \pi \right\rangle}\) ) i promień
(\(\displaystyle{ \left\langle 0; \frac{ \sqrt{2} }{2} \right\rangle}\)) niż w klasycznych współrzędnych biegunowych. Poszukaj na forum zdań o znajdowaniu obszaru całkowania po przejściu na współrzędne biegunowe

Pytanie ogónle - jak w innych zadaniach zauważyć (?) że warto podstawić za coś innego niż \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)?

Pewnie Cię zmartwię, ale zwykle jest to wynik zrobienia wielu zadań. Czasem jest to lenistwo lub cwaniactwo które skłania rozwiazujacego do szukania łatwiejszej lub mniej czasochłonnej metody.